Bonjour,
j'ai un petit problème avec une question d'un exercice dont voilà la question:

http://img527.imageshack.us/img527/5194/12im5.jpg

J'ai beau tourner dans tous les sens, je ne vois pas.

Et finalement j'arrive à en remettre la justesse de la question en cause (du moins l'imprécision) (lol le gars qui trouve pas donc la question contient une erreur )

Explications:

Si je fais par récurrence:
L'initialisation elle même pose problème: Comme c'est vrai pour tt n de N, alors c'est vrai pour 0:
somme j=0 à 0 de r_j=somme k=0 à 0 de p_k*q_(n-k)=p_0*q_n

Or selon l'hypothèse de récurrence, on devrait avoir :
p_0*q_n<=p_0*q_0 ce qui n'est vrai que si q_n<=q_0
Donc les suites p et q devrait en plus être décroissantes (ce qui n'est pas marqué dans l'énoncé )

Voilà, est-ce que vous pouvez m'aider ?

Merci d'avance.

Tu as fait une erreur dans l'initialisation. En fait c'est :
somme j=0 à 0 de r_j=somme k=0 à j de p_k*q_(j-k)=p_0*q_0
L'hypothèse de récurrence est donc vérifiée pour n = 0.

Ha oui en effet, si j'oublie de mettre n=0 partout...

Mais ça me trouble ces sommes avec le même indice, pourquoi ils mettent pas k par exemple pour la deuxième somme ?!

De toutes façons, ma récurrence ne semble pas donner grand chose.

Hum... Je sais que p_n et q_n sont décroissantes puisque les séries convergent. Qu'est-ce que ça peut bien me donner ?

Pas encore touché aux séries pour ma part.

HS: cest en 1ere ca?

Non, ce n'est pas en première, c'est en prépa hec.

Faisable en terminale S

J'ai vu le mot série je me suis arrêté! En 1ère faut pas déconner, en TS à la rigueur si aucune notion sur les séries mathématiques n'est requise!

Dévellope le membre de droite et compare le à celui de gauche.

Une récurrence marche très bien. En séparant bien les sommes comme il faut et avec quelques changement d'indices, on y arrive.

mmm, réccurence pas super évidente...

Je te propose une autre méthode :

somme(Pk*Qn-k,k=0..n)=some(Pi*Qj,i+j=n)

dessine un axe des abscisses (i) et un des ordonnés (j) gradués par des entiers naturels non nuls.

dessine le carré de coté k
dessine la diagonale du carré joignant l'abscisse et l'ordonnée.

Cette diagonale, ca correspond à ta sommation pour calculer Rk.
Ta double sommation somme(Rj,j=0..n) correspond à une sommation sur le domaine formé par le triangle de gauche (la somme des diagonales inférieures à celle de longueur n).

Ta sommation somme(somme(Pj*Qj,j=0..n),j=0..n) corespond à une sommation sur le carré de coté n.

On est dans le cas d'entiers positifs, donc on en déduis le résultat voulus par inclusion d'un domaine dans l'autre.

Il faut évidement formaliser ceci.
Je te propose d'introduire les ensembles :
- Dk={(i,j)/i+j=k}
- Sn=U(Dk,k=1..n)
- [[1,n]]x[[1,n]]

T'as compris ? J'ai essayer d'expliquer l'idée de la démo à l'aide de la géométrie, mais avec une image ce serait tout de suite plus clair^^

En me fiant à ce que vous racontez, niveau lycée mais oui les gars...

En gros, tu développes le produit de sommes et tu la compares au 1er membre. Géométriquement

Heu... merci beaucoup en tout cas (Pour tout vous dire, j'avais zappé la question après un certain temps car en fait il s'agit de la question 3)a) de la partie I d'un problème de proba avec des fonctions génératrices et d'autres trucs bien sympas ( ), et si je bloque sur une question, je continue (...ou pas lol))

Ca a l'air sympa en tout cas la solution géométrique... mais je ne sais pas si une justification géométrique irait très bien comme justification dans la copie... lol

Je vais cherche un peu du côté de la récurrence.

hey, non malheureux!!!!!!!!!

ce n'est sutout pas ca !!!!!

C'est juste pour te montrer ce qu'il se passe le dessin^^ tu ne t'en sers pas pour justifier^^
Tu fais ca correctement une fois que tu as compris avec les bons domaines de sommation

Mais sérieux, pourquoi tu te fais chier avec une récurrence?
Tu développe le produit dans le membre de droite. Tu vas obtenir le membre de gauche plus des éléments positifs. Donc tu auras bien ton inégalité

c'est pas super évident à formaliser.
Ca revient exactement à ca ma démo.

Super