Bonsoir, voilà j'ai un petit exo où je bloque.
En gros c'est du raisonnement par l'absurde, et il faut montrer que la racine de certains entiers est irrationnelle.
Donc j'y arrive avec sqrt(2), suffit de passer au carré etc ...
Mais après on le demande pour sqrt(15), là je bloque, comment faire ?

Classe?

Bac +1

T'as fais comment pour sqrt(2)? A l'aide du théoreme de Gauss ou par parité?
Parce qu'en principe, tu pourrais devoir calquer la démo pour sqrt(15)

Avec sqrt(2) on trouve que p et q sont pairs, ce qui contredit la condition de depart pgcd(p, q) = 1
Mais ça ne marche pas avec sqrt(15)

Si t'as p² = 15 q², t'as p² = 3x5q²
et donc 3|p², mais comme 3 est premier, il divise p
De meme 5|p², mais comme 5 est premier, il divise p
On doit pourvoir faire la meme chose pour q, je pense.
bonne chance

essaye une récurrence

J'pense pas, non, vu que sqrt(9) = 3, et 3 n'est pas irrationnel.
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C'est en buvant une goutte d'eau que l'on se rend compte de sa soif.
"L'homme choisit, l'esclave obéit." (Andrew Ryan)

pour le dire rapidement (rigoureusement, c'est un peu longuet...), ça vient de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Raisonner avec les valuations p-adiques peut être salvateur.

Je vais être un peu plus précis, vu que je ne sais pas si tout le monde connait les valuations p-adiques.

Cependant, je ne vais pas démontrer l'existence et l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, je vais admettre qu'elle est connue.

Déjà, on remarque qu'un entier n est un carré parfait (ie : la racine carrée de ce nombre est un entier) SSI tous les exposants de tous les facteurs de sa décompositions sont pairs.
Exemple : 144= 3² * 4²
et 144 est bien un carré parfait.

Maintenant, soit n un entier qui n'est pas un carré parfait.
Supposons que sa racine soit rationnelle.
Alors, on peut écrire a²=b²n, avec a et b des entiers premiers entre eux.
Comme n n'est pas un carré parfait, il existe dans sa décomposition un nombre premier p dont l'exposant est impair.

En utilisant la décomposition en facteurs premiers de a et de b, comme on a a²=b²n, et comme la décomposition en facteurs premiers est unique, on arrive à une absurdité, en effet, du côté de "b²n", l'exposant de p est impair, et du côté de a², l'exposant de p est pair.

D'où l'irrationalité de tout entier non carré parfait.