vu ton âge, tu dois être au lycée, donc tu as vu le principe de récurrence 
.
Je vais archi-détailler.
On va montrer que la proposition Pn suivante est vraie : pour tout n, u(n) est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On aura ainsi montré que pour tout n, u(n) est un entier naturel non nul.
On procède en 2 étapes :
1) initialisation : ça consiste à trouver un rang n tel que la propriété Pn est vraie. Pour n=0, on a u(n)=14, qui est bien un entier naturel non nul : la propriété est donc vraie au moins une fois.
2) hérédité : on va montrer que si Pn est vraie alors P(n+1) est vraie. Ainsi, on peut affirmer de proche en proche que la propriété est vraie pour tout n : on sait que c'est vrai pour n=0, donc c'est vrai pour n=0+1=1 ,donc c'est vrai pour n=1+1=2, donc c'est vrai pour n=2+1=3, donc ...
On suppose donc que u(n) est un entier naturel spérieur à 2.
On a u(n+1)=5u(n)-6, qui est un entier comme somme et produit d'entiers, u(n) étant entier. De plus :
u(n)>2 donc u(n+1)=5*u(n)-6>5*2-6=4>2. u(n+1) est un entier naturel supérieur à 2.
Donc, si Pn est vraie alors P(n+1) est vraie.
Donc par récurrence, Pn est vraie pour tout n : on a démontré que pour tout n, u(n) est un entier naturel non nul.
