Déterminer l'ensemble des points M du plan complexe pour lesquels Z est imaginaire pur.
Z=(z+1)/(z-2i)

s'il vous plait aidez-moi

Fastoche Tu développes ton, Z puis tu écris z=x+iy
Z un imaginaire pur <=> arg(Z) Pi/2[Pi]

fastoch, fastoche ..... pas pr moi je galère en math (ms po en SI gnark!)

enfin merci bcp mm si ça parait peu pour toi, pour moi c'est bcp ^^

ça fait trop le déséspéré là!

bah alors bonne nuit alors

eeuuhh... tu pourais détailler un peu parce que (oui chui nul) je capte pas tout qd j'essaye de le faire (faut que je comprenne), steplé

z complexe s'écrit x+iy, tu remplaces donc z par x+iy dans Z.

Après tu veux trouver tous les z tels que Z soit imaginaire pur donc de partie réelle nulle.

Il te reste à mettre Z sous la forme A+iB et dire que A=0.

Enfin, trouver ce que cela veut dire pour z (en gros : un point, une droite ou un cercle?).

Je reste moins d'une demie-heure si tu veux des précisions.

developpe encore Eleanor_Rigby stp, ce n'est pas encore très clair pour moi là

ok, je vais te faire ton exo...

Tu dois marquer que Z est défini pour z différent de 2i, sinon Z existe pas.

Z=(z+1)/(z-2i)=({x+iy}+1)/({x+iy}-2i)
=((x+1)+iy)/(x+i(y-2))

On a séparé les parties réelles en haut et en bas; maintenant, on va utiliser la "méthode de la quantité conjuguée" pour se débarasser de la partie imaginaire du dénominateur.
Le résultat du cours à savoir est a.conjugué(a)=|a|².

Donc en multipliant en haut et en bas par x-i(y-2), on obtient :

Z=((x+1)+iy)*(x-i(y-2))/(x²+(y-2)²)
=({x(x+1)+y(y-2)} + i{xy-(x+1)(y-2)} / (x²+(y-2)²)

Z imaginaire pur équivaut à Re(Z)=0 :
{x(x+1)+y(y-2)}/(x²+(y-2)²)=0
soit, comme z différent de 2i, x²+(y-2)²>0 et on peut multiplier les 2 membres par cette quantité non nulle :

0n obtient : x(x+1)+y(y-2)=0
x²+x+1/4-1/4+y²-2y+1-1=0 (je fais apparître des développements d'identités remarquables)
(x+1/2)²+(y-1)²=1/4+1=5/4

on reconnait le cercle de centre (-1/2;1) et de rayon V(5)/2 (où V désigne la racine carrée). Si tu reconnais pas un cercle, lis ton cours...

J'espère que là c'est clair, je peux difficilement faire plus détaillé...

Cherche sur le forum : y'a plein d'exos de ce type...

Merci mais, c'etait pas moi l'auteur de ce topic