Bonsoir,

je bloque sur un exercice. Pouvez-vous m'aider?

Dire si les ensembles suivants sont des espaces vectoriels sur R

a. L'ensemble E des polynomes de degré supérieur ou égal à 2, avec les opérations habituelles sur les polynomes.

b. L'ensemble desz fonctions positives ou nulles définies sur R et à valeurs dans R muni des opérations habituelles sur les fonctions.

Pouvez vous m'aider ou m'indiquer la marche a suivre?

Merci

Je pense pas pouvoir te donner le detail , mais en gros il s'agit toujour de prouver la loi interne, externe et l'element neutre.

Pour le premier ca devrait etre symple (prend x et x' et demontre que (x+x') est toujour dans l'E.V

Sinon tu fait ou MASS ? (je suis a la sorbonne en MASS aussi)

Je suis à Bordeaux en 1ere année

Que veut tu dire par prouver la loi internet et externe? Prouver la commutativité?
Et aussi trouver l'element neutre?

Ouai il me semble que c'est ca..
En gros pour la A
soit a, b deux scalaires et f1 f2 2 polynome de degres 2
(E etant "la somme des")

f1 (X) = E ui Xi et f2 (X) = E vi Xi

(af1 + bf2) (X) = af1(X) + bf2 (X)

= a ( E ui Xi ) + b (E vi Xi)

= E (aui + bvi) Xi

(i est de base 0 (en dessous de la somme) et u,v les variables)

Sollicite moi si tu comrpend pas mon explication.

Le langage mathematique n'est pas evident sur JV.com

En fait je ne comprend pas en quoi ca montre que l'ensemble est un espace vectoriel.

Et bien en gros j'ai pris 2 polynome f1 (X) et f2 (X) j'ai demontré qu'en les additionant et en les multipliant par un scalaire (soit loi interne et externe) l'expression restait toujour dans l'E.V.
je sais que je suis pas tres precis , je te conseille de relire ton cour attentivement , ca devrait t'aider , pour prouver qu'il s'agit d'espace c'est TOUJOUR la meme methode.

Oki c'est bon j'ai compris, je te remercie.

Parce que dans d'autres exercices, où on me demandait montrer que différents ensembles muni de lois definies dans l'exercice etaient des espaces vectoriels, je prouvais les 8 propriétés a suivre pour un espace vectoriel.
A savoir, commutativité, associativité, element neutre, element opposé, multiplication par 1, distributivité sur l'addition par le scalaire...

En tout cas merci

Je vais montrer que l'ensemble des polynomes de degré supérieur ou égale à 2 n'est PAS un ev.

il suffit de trouver un contre exemple en montrant qu'une des lois n'est pas vérifiée...

[new-somener , tu as oublié la spécification "de degré supérieur ou égale à 2", donc tu as oublié une vérification]

par exemple : prenons P(X)=X²+X et Q(X)=X²
alors (P-Q)(X)=X et P-Q est un polynome de degré 1 donc n'est pas dans l'ev, pour P et Q sont dans cet ev.

par contre, on démontre facilement que l'ensemble des polynomes sur IR est un ev

Très bon contre exemple. ^^

L'autre non plus n'est pas un espace vectoriel sur R.

Merci de ta précision sd460
J'ai bien compris grace a vous (et à la correction des exos aujourd'hui

Aie je me suis bel et bien trompé , merci de ta rectification sd460 , en fait je m'etait inspiré d'un ancien exo semblable..

Visiblement ,j'ai encore du pain sur la planche !

Le polynome nul n'appartient pas à l'ensemble des polynomes de degré supérieur a 2. Ca a donc peu de chances d'etre un ev

tu peux trouver plein de justifications, j'avais pris cet exemple car il montrait l'erreur dans la démonstration de new-somener.

new-somener > bien connaitre les définitions, après c'est un peu de manipulations (exercices, démos), et puis après, avec le recul, c'est facile^^