:bonjour:
on a x²-xy+y²≤2
montrer que
x^4 + y^4≤8
c'est pas evident

C'est quoi les ≤ ?

desole j'ai fait copier coller
voila
x²-xy+y²=<2
montrer que x^4+y^4=<8

Quel niveau ?

colege

aucune reponse

J'aurais une solution mais bien trop fastidieuse
Franchement c'est chaud je ne vois pas comment faire sinon...

Dsl mais ce que tu demandes ne veut rien dire :/
y avait pas un énoncé plus clair ?

humm
scuse moi si en fait j avais mal lu l'énoncé.
j ai trouvé une solution, mais j aurais besoin de savoir en quelle classe tu te trouves (ma solution utilise des notions que tu n as peut etre pas vues...)

Je savais qu'on faisait ce genre d'exos en college
Dis toujours Roy

j'attends la solution

Bien alors ma solution...

x² - xy + y² =< 2
revient a :
(x - y)² =< 2 - xy
On a un carré a gauche, donc forcément sup ou égal a 0
d ou on en déduit que "xy" appartient a ]-oo;2]

on repart a la forme de départ :
x² + y² =< 2 + xy
x² + y² est forcément positif ou nul, donc par transitivité 2 + xy aussi, d'ou on peut élever au carré :

x^4 + y^4 + 2(xy)² =< 4 - 4xy + (xy)²
soit :
x^4 + y^4 =< 4 + 4xy - (xy)²

Et la attention :D on va majorer le membre de droite.
on pose une variable X = xy et on étudie la fonction
4 + 4X - X² sur ]-oo; 2]

Dérivée : -2X + 4 toujours positive sur l intervalle donc la fonction toujours croissante.

D'ou son maximum en 2, soit pour X= 2
4 + 4X - X² = 8

on a donc prouvé que 4 + 4xy - (xy)² =< 8

D'ou la conclusion :
x² - xy + y² =< 2 implique x^4 + y^4 =< 8

merci

en faite sans derivation
4 + 4xy - (xy)² =< 8
8-(4 + 4xy - (xy)²)>=0
x²y²-4xy+4>=0
(xy-2)²>=0