..Bonjours a tous!

j'ai un petit "exercice" que j'ai du mal a résoudre..

Voici l'énoncé :

" - Justifier qu'un polynome de degré impair admet au moins une racine sur R
- Prouver qu'entre deux racine consécutives d'un polynome, i lexiste au moins une racine du polynome dérivé. "

Si quelqu'un pouvais me donner des axes de réflexions.. >_<

Pour la première parti, j'ai transformer mon polynome de degré " 2p+1 " (puisqu'il ai impair ) en polynome unitaire, e ndivisant par le coefficient devant le " x de plus haut degré " .. Je pensais étudier la fonction x ---> P(x) (nom que j'ai donné a ce polynome unitaire ), mais je bloque

et pour la deuxième question.. j'pense qu'il doit s'agir du théorème des valeur intermédiaire, mais faut que je trouve la première question d'abord >_<

Bref toute aide sera la bienvenue!

- Justifier qu'un polynome de degré impair admet au moins une racine sur R

Soit P le polynôme continu sur R, lim P(x) en +oo=+oo et lim P(x) -oo=-oo

Quelles que soient ses variations sur R, comme la fonction est continue, elle prend au moins une fois toute valeur de R. Il y a donc au moins une racine.

- Prouver qu'entre deux racine consécutives d'un polynome, i lexiste au moins une racine du polynome dérivé.

S'il existe un polynôme P continu, qui s'annule en a et b, et s'il n'est pas constant (et nul entre a et b, auquel cas le polynôme est nul pour une infinité de valeurs et est donc nul, la dérivée s'annule en tous les points alors...) entre a et b, alors il va va nécessairement changer de variations au moins une fois (croître, puis décroître par exemple) et donc sa dérivée va s'annuler au moins une fois... en fait, le polynôme va avoir un extremum local à un endroit et donc la dérivée va s'annuler et changer de signe.

Un polynome impair n'a pas de terme constant. 0 est donc racine...

Euh...un polynome A DEGRE impair...

x^3 + 8x^2 - x + 7 : le polynome est pas impair mais sont degre l'es...

Pardon, j'ai mal lu.

C'est en fait dans la première qu'il faut voir le théorème des valeurs intermédiaires.

Pour la deuxième, je pense que la rédaction la plus rigoureuse sera obtenue en raisonnant par l'absurde.

c'est plus simple d'utiliser le théorème de rolle pour la 2.
S'il n'est pas connu, il est néanmoins aisé à démontrer :

soit f IR -> IR telle que f soit continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ telle que f(a)=f(b), alors il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0.

pour la démonstration dans ce cas particulier de k'exercice : théroème des accroissement finis :
a et b deux racines consécutives a<b alors f(a)=f(b)=0.
il existe c apartenant à [a,b] tel que f(a)-f(b)=(b-a)*f'(c)
donc f'(c)=0