Salut à tous,
J´aimerais qu´on m´aide car je ne comprend pas l´exercice suivant :

Pour tout entier naturel n, on considère la proposition
Pn:"9 divise 10^n + 1"
1)démontrez que si Pn est vraie pour un certain n, alors Pn+1 est vraie
2)Pn est elle vraie pour tout entier

Si quelqu´un pouvais me donner un coup de pouce merci d´avance ^^

T´es sur que (Pn) es bonne ? Me semble bizarre, parce que je crois pas que 10^n +1 = 9k (étant donné que la somme des chiffres de 10^n +1 sera toujours égale à 2, et donc pas divisible par 9), mais me trompe peut-être
C´est pas 10^n -1 plutot ?

non Pn est bien la bonne, je ne me suis pas trompé ^^
Mais je ne comprend pas ton k ?

1)
Pour (Pn) : 9 divise 10^n-1 :

1ère étape : pour n=0, 10^n-1 = 10^0-1 = 0 = 9k. Donc P est vraie pour n=0

2ème étape : supposons que pn soit vraie pour un entier naturel n. On a donc 10^n - 1 = 9k (donc 10^n = 9k+1)

10^(n+1) -1
= 10^n * 10 -1
= (9k+1)*10 -1
= 90k +100 -1
= 90k+99
= 9(10k + 11)
=9k´

Donc 10^(n+1) -1 = 9k´, donc 9 divise 10^(n+1) -1

Conclusion : Puisque pn est vraie pour n=0
Si elle est vraie au rang n, elle est vraie au rang n+1
Donc pn est vraie pour tout n >= 0

2)10 congrue 1 modulo 9
donc, pour tout n, 10^n congrue 1^n modulo 9 (d´après les propriétés sur les congruences)
or 1^n = 1 pour tout n
donc 10^n congrue 1 modulo 9 pour tout n
donc 10^n - 1 = 9k pour tout n
donc 9 divise 10^n-1 pour tout n

Voila
donc

t´es vraiment sur que c´est la bonne ? parce que 9 ne divise pas 10^n +1 : pour n = 2 par exemple, 10^n +1 = 101, or 9 ne divise pas 101 alors que 10^n -1 = 99 = 9*11 = 9k -> 9 divise bien 10^n -1, et ce pour tout n ;)

Sinon, je viens d´y penser, tu dois pouvoir le démontrer plus simplement en disant que 10^n s´écrira toujours avec 1 suivi de n zéros, donc 10^n - 1 s´écrira toujours avec plein de 9 (le chiffre sous une puissance de 10), donc sera forcément un multiple de 9
Mais si tu dois utiliser les reccurences + divisibilité, ma technique est la bonne je crois ;)

P.S: c´est un exo de spé maths non ?

non ce n´est pas un exo de spec xD
en fait, il me semble avoir entendu qu´au début, Pn serait faux mais que la suite serait bonne ...
mais c´est justement sur ce point que je peche :s

merci en tout cas de ton aide :D

lol, si c´est pas dla spé oublie la question 2 :D
Mais je pense vraiment pas que Pn soit bonne, enfin je vois pas comment 10^n + 1 pourrait être un multiple de 9 (sous entendu que 9 divise 10^n + 1)
En tout cas, pour 10^n - 1 ma réccurence marche. Après tu peux démontrer que Pn (10^n - 1) est vraie pour tout n avec mon dernier post (celui avec l´écriture de 10^n -1), mais en tout cas oublie les congruences si t´es pas en spé ^^

Non Pn est bien la bonne, c´est aussi pour ça que je ne comprend pas l´exo ...

Alors cherche pas, je pense pas que ça puisse marcher ^^
Si tu veux faire du zèle, tu fais avec 10^n - 1 (pour briller auprès des profs, toujours pratique ), ou sinon tu laisses tomber en disant que l´exo était pas faisable.
Sauf si je me trompe bien sur

J´ai déjà fait cet exercice en cours :

9 | 10^n + 1

1) On suppose au rang n 10^n + 1 = 9k (avec k € IN) <=> 10^n = 9k - 1

10^(n+1) + 1 = 10*10^n + 1 = 10(9k-1) + 1 = 90k - 9

donc on a bien 10^(n+1) + 1 = 9(10k-1)

2) P_0 = 10^0 + 1 = 2 ce n´est pas un multiple de 9.

La propriété n´est pas vraie pour tout n puisqu´elle n´est pas vraie pour la plus petite valeur de n.

Cet exercice a pour but de montrer que sans la plus petite valeur de n, on raisonne sur du vide avec la récurrence.

En espérant que je n´ai pas répondu trop tard et que l´auteur du topic soit encore la. _______________________________________
http://www.youtube.fr/kil94
ou
http://www.dailymotion.com/raykiri94

C´est pour ça que ça me posait problème, parce que dès l´initialisation (n = 0), Pn est fausse

Ben c´est malin ça ! Si ça se trouve il s´est barré et il va avoir 0 à son DM à cause de toi.

Je reviens et qu´est ce que je vois?? la réponse que je cherche depuis une heure xD
Et ce n´est pas un DM ^^

merci à toi strife2 et à zor glub pour avoir chercher et tenter de m´aider

Ouf je n´ai pas posté pour rien.

Tu es en quelle classe zor_glub ?

TS (spé maths) et toi ?

De même.