Bonjour,
J´aimerais avoir des avis sur ma solution de cet exercice :
Dans un repère orthonormal, on note P la parabole d´équation y = x².
Objectif : Déterminer l´ensemble des points M d´où l´on peut mener à P deux tangentes perpendiculaires.
On suppose que M de coordonnées (x0; y0) est un point de E (l´ensemble recherché) et de cette hypothèse on essaie de déduire des conditions sur x0 et y0. Par hypothèse, il passe 2 tangentes à P par M, notées T et T´. Notons P´ et P" leurs points de contact avec P, d´abscisses a et c.
1) a) Prouver que T a pour équation y = 2ax - a²
De même, que T´ a pour équation y = 2cx - c²
// Bon on applique bêtement la formule du cours
b) Prouver que l´appartenance de M à T et T´ se traduit respectivement par se traduit par :
a² - 2x0a + y0 = 0 [1]
c² - 2x0c + y0 = 0 [2]
// On utilise les formules précédantes.
2) a) Prouver que 4ac = -1 [3]
// Puisque par hypothèse T et T´ sont perpendiculaires, alors 2a*2c = -1 <=> 4ac = -1.
b) Déduisez alors de [1], [2] et [3] que y0 = -1/4 et dc que M apaprtient à la droite fixe d´équation y = -1/4
// 4ac = -1 <=> ac = -1/4
D´où y0 = -1/4 <=> y0 = ac <=> 2x0a - a² = ac
Clairement, a =/ 0 d´après [3] d´où 2x0a - a² = ac <=> 2x0 = a + c. Ainsi, montrer que y0 = -1/4 est vraie, revient à montrer que 2x0 = a + c est vraie.
[1] - [2] = a² - c² + 2x0(c - a) = 0 <=> (a + c)(a - c) - 2x0(a - c) = 0 <=> (a - c)(a + c - 2x0) = 0
En particulier nous avons dc 2x0 = a + c comme convenu.
Ainsi M(x0; y0) <=> M(x0; -1/4). On en déduit alors que M appartient pour tout x0 à la droite "d" d´équation fixe y = -1/4
3) Si M est un point de "d", peut-on mener de M deux tangentes à P perpendiculaires ? Montrer que la réponse est oui. Concluez.
// Par hypothèse, M € d <=> M(x0 ; -1/4).
M € T <=> y0 = 2x0a - a²
M € T´ <=> y0 = 2x0c - c²
Il reste donc à montrer que T et T´ sont perpendiculaires, i.e, ac = -1/4.
Par hypothèse, y0 = -1/4 <=> 2x0a - a² = ac <=> 2x0 = a + c
(on reprend la même démo que toute à l´heure)
