Salut tout le monde
Voilà pour un DM à rendre dans deux semaines, j´ai une démonstration à faire mais je vois pas trop comment la formuler, ni par où commencer.
En fait, le but est de démontrer que l´aire d´un triangle est maximale lorsque celui-ci est rectangle.
Seulement, à part à l´aide de conjectures, je ne vois pas... ( et malheureusement il faut le démontrer )
Par où devrais-je commencer ?
d´avance.

Avec 2 côtés de longueurs fixes ?

Pour un triangle ABC l´aire vaut (AB)(BC) sin(AB,BC)/2.

Le sinus est maximal pour un angle droit.

Il faut se souvenir de la loi des sinus.
a/(sinus(a)=abc/(2S)

Owned

Oh merci à vous, effectivement ça peut m´être utile, je vais essayer de mettre ça en forme
beaucoup

De rien

Désolé pour le double post, mais je ne connaissais pas cette formule, et elle marche pour toute sorte de triangle, ça enrichit mes connaissances en maths, vraiment
Un outil super utile tout ça
Donc re-merci

Tu es sûr de ne pas l´avoir vue en cours, pendant le chapitre sur le produit scalaire ?

On n´a pas encore fait le produit scalaire, donc je répondrais non Pour le moment on a fait que de la trigo, le second degré, les dérivées et limites.

Ce résultat fait appel à la notion de produit vectoriel, je doute qu´on voie ça en 1ère...

Ah c´est embarassant c´est sûr... Mais dans les DM généralement on a quelques trucs qu´on ne connaît pas et qu´il faut trouver nous même, pour par la suite les approfondir.
Je ne sais pas si cette formule en fait partie, mais tout du moins elle me sera très utile par la suite.

"Ce résultat fait appel à la notion de produit vectoriel, je doute qu´on voie ça en 1ère..."

La formule est vue en première et en terminale ;)
On n´a pas nécessairement besoin du déterminant pour comprendre que S=(AB)(BC) sin(AB,BC)/2.
Il suffit de prendre le parallélogramme construit en doublant le triangle, et de calculer la hauteur de ce parallélogramme en fonction du sinus de C.

Voici comment tu peux le montrer :

L´aire du triangle ABC est la moitié de celle du parallélogramme ABCD.

L´aire de ABCD est égale à celle du rectangle ABEF.

Or EF = AB et EB = AF = BC sin alpha

http://www.enregistrersous.com/images2/204687600620080105194039.jpg

Arf cette fois c´est moi qui suis owned

J´ai trouvé une autre piste pour ta démonstration, de niveau plus abordable.

Ai-je le droit de considérer comme acquis que le côté le plus long d´un triangle rectangle est son hypoténuse ?

Soit ABC un triangle.
Pour calculer son aire, on peut faire AC*BH/2, avec BH la hauteur issue de B

Si on donne une longueur fixe à AC, et qu´on fait bouger B, on se rend compte que l´aire est maximale lorsque BH est maximale.

Fais un dessin, et dessine en pointillé le triangle ABH.
Ce triangle est rectangle en H, par conséquent, comme l´hypoténuse est le plus long côté, on a TOUJOURS BH inférieur ou égal à AB
Par conséquent, si l´on trouve un cas où BH=AB, alors, ce sera dans ce cas que l´aire sera maximale.

Et bien il suffit de vérifier que lorsque ABC est rectangle en A, AB=BH, et c´est achevé.

A toi de mettre ça en forme.

chacun son tour, pat_fresh, gnark gnark ^^

Ya un truc à bien avoir en tête, Chiguy, tout de même, c´est que l´énoncé de ce que tu dois démontrer n´est pas très clair.
Si je prends 2 triangles, un rectangle, et un pas rectangle, alors le pas-rectangle n´est pas forcément d´aire inférieure au rectangle...
Il faudrait précise que l´un des côté est constant, et que le troisième point se ballade sur un cercle, etc...

Faut préciser que c´est dans le plan euclidien, sinon ça peut être faux

le_duche, fidèle à lui-même

Tu nous as beaucoup manqué, tu sais

thorin_oak, c´est toi qui nous as embarqué sur les produits scalaires

Tu as tout à fait raison pour le manque de clarté de l´énoncé que j´avais effectivement relevé

En fait, le triangle est à la base isocèle en A avec AB = AC = 10 cm, et BC = x cm.
J´ai déjà cherché les variations de l´aire et trouvé pour quel x l´aire est maximale, pour ça il suffisait d´utiliser une dérivée.

Désolé de pas avoir répondu entre temps, j´étais absent
Je vais voir pour la hauteur égale au côté, ça me semble plausible, je vais voir ce que je vais faire, en tout cas merci de m´aider