bonsoir à tous.

j´ai un ptit souci avec un exo de niveau sup.

soit la suite Sn = (u0+u1+...+un)/n

j´ai déjà montré que Sn est croissante si Un est croissante.

je dois maintenant montrer que si Un est majorée, alors Sn est majorée.
ça semble facile, mais je sèche

ensuite je dois en déduire que la convergence de Un entraine celle de Sn rassurez moi, il suffit de dire que croissante + majorée implique convergente, donc si Un convergente, alors Sn convergente ?

ensuite si vous pouviez m´aider à établir l´encadrement
(un+Sn)/2 (inférieur ou égal) S(2n) (inf ou égal) u(2n)

j´ai tout essayé, mais peine perdue...

merci de votre aide

Bah si Un est majorée, ça veut dire qu´elle tend vers une limite L,donc la somme de tous les termes tendra vers nL, donc Sn tend vers nL/n=L =)

Sinon oui, convergente= croissante et majorée ou décroissante et minorée, donc c´est bon
Pour l´encadrement tu peux toujours essayer une récurrence ^^
(désolé de la brève aide mais je suis assez occupé pour le moment )

Oh punaise,j´ai un prof qui s´appelle Césaro,alors j´ai vu ce topic et d´un coup ma paranoïa a resurgi^^

Un majorée => Sn majorée :
si Un est majorée alors il existe un réel M tel que pour tout n, Un < M.
Donc Sn = (u0 + u1 + ... + un)/n < (M + M + ... + M)/n = nM/n = M, donc Sn est majorée.

Oui, si Un croissante et majorée alors Un converge, de même pour Sn.

pour la majoration, c´est tout bête : pour tout n u_n<M, donc S_n<n*M/n=M...

convergence : si u_n converge vers L. Soit eps>0, il existe N1 tel que pour tout n>N, |u_n-l|<eps1=qqch en fonction de eps

S_n-L=(u_0+u_1+...+u_(N-1)+u_N+...+u_n - n.L)/n

donc |S_n|<|u_0-L+...+u_(N-1)-L|/n + |u_N-L+...+u_(n)-L|/n

comme u converge, elle est bornée par M

donc, par inégalité triangualaire,

|S_n-L|<N(M+L)/n+(|u_N-L|+...+|u_n-L|)/n
<N(M+L)/n+(n-N).eps1/n
<N(M+L)/n + eps1

comme N(M+L)/n tend vers 0 quand n tend vers plus l´infini, il existe N2 tel que pour tout n>N2, N(M+L)/n<eps2=qqch en fonction de eps

Dans ta rédaction, tu mets dès le début les valeurs de eps1 et eps2 qui vont bien pour obtenir eps à la majoration finale.
Typiquement : eps2=eps/2 et eps1=eps/2

donc il existe N=max(N1,N2) tel que pour tout n>N, |S_n-L|<eps1+eps2=eps : la suite Sn est convergente

ATTENTION : tu fais une faute de logique, une suite convergente n´est pas forcément croissante et majorée (elle est juste bornée)!

Y´a des hypothèses sur u_n pour ton encadrement?

ATTENTION RatusXVII!!!!

une suite convergente n´est pas forcément monotone, par exemple la suite sin(n)/n tend vers 0 mais n´est pas monotone... elle est juste bornée.

et si u_n tend vers L, somme des u_n tend vers 0 si L=0 et vers signe(L).infini si L<>0. Il n´y a plus de n dans l´expression d´une limite, tu as confondu limite et équivalent!!!

merci à tous pour votre aide

Pour l´encadrement, j´avais pas pensé à une récurrence, mais je vois mal comment ça peut marcher...

les seules données que j´ai, c´est Un = U0+U1+U2+...+Un
Sn= Un/n pour tout n appartenant à |N*

faut peut être utiliser la formule de la somme, mais pareil, je vois pas comment m´en sortir...

j´ai aussi essayé avec la méthode des suites extraites, mais je maitrise pas trop

Oulà calmos mon gars, désolé de mon sacrilège aux saintes mathématiques
Tu as raison, j´avais vu cette erreur avec le post de dunadan en fait, mais ch´uis un peu fatigué ce soir, alors mon manque naturel de rigueur ressurgit

(mon post s´adressait à Eleanor_Rigby au fait, quand je disais que mon manque d´exactitude se fait sentir )

ah les suites de césaro

que des bons souvenirs de colle ²

Pour l´encadrement, pas besoin de récurrence :
(Sn + Un)/2 = (u0 + ... + un + n*un)/2n
Un est croissante, donc un < un+1, un < un+2, ..., un < u2n et donc un+1 + un+2 + ... + u2n > n*un.
D´où (u0 + ... + un + n*un)/2n < (u0 + ... + un + un+1 + ... + u2n)/2n = S2n.
Donc (Sn + Un)/2 < S2n.

S2n = (u0 + u1 + ... + u2n)/2n
Un est croissante, donc u0 < u2n, u1 < u2n, ..., u2n-1 < u2n et donc u0 + u1 + ... + u2n < 2n*u2n.
D´où (u0 + u1 + ... + u2n)/2n < 2n*u2n/2n = u2n.
Donc S2n < u2n.

merci

ça paraît simple une fois que c´est fait, mais j´aurais jamais trouvé je pense...
beaucoup

j´agresse pas, je corrige tes erreurs... donc on se calme...

pour les encadrements, j´avoue que je sais pas quoi faire. Si u est croissante, ça se fait tout seul. Sinon, la récurrence a l´air chaude à initialiser : on a aucun renseignement sur les premiers termes de la suite, on a pas moyen de savoir à partir de quand c´est vrai. Donc je vois pas. Et puis c´est tellement loin...