Bonjour à tous, je suis bloqué dans un problème, pouvez-vous m´aider?
(V=racine)
Soit a=1+V2
J´ai calculé a^2 ; a^3 ; a^4 ; a^4 et a^5
On me demande ensuite de généraliser sous la forme (p+qV2)(1+V2) où p et q sont des entiers naturels :
j´ai obtenu p+2q+(p+q)V2
Et là, je bloque, Montrez que chacune des puissances de a peut s´écrire sous la forme VN + V(N+1).
Puis en supposant qu´à "l´étape n" on ait x^n=p+qV2=VN+ V(N+1) avec p, q et N entiers, établissez une relation entre p et N ainsi que q et N puis en déduire une relation entre p et q.
En déduire alors qu´à "l´étape n+1" on a x^(n+1)=VM + V(M+1) où M est un entier que vous déterminerez en fonction de p et q.
Merci de votre aide car là, je vois pas quoi faire,
Cordialement.

petit up ^^

peux-tu donner l´énoncé exact de l´exercie parce que là, on comprend pas trop ce qu´il faut faire?

Très bien ,je précise que je ne dois répondre en redigeant que aux questions 6 et 7.
Soit a=1+V2
1°Calculez a^2 ; a^3 ; a^4 et a^5
2°Généralisez : calculez (p+qV2)(1+V2), où p et q sont des entiers naturels, et mettre le résultat sous la forme A+BV2
3°En déduire comment obtenir la suite des puissances entières de a grâce à un tableur (prévoir jusqu´à a^100)
4°Montrez que chacune des puissances de a peut s´écrire sous la forme VN + V(N+1) avec N appartenant lN(entiers naturels), pour cela répondez aux questions suivantes :
5°Montrez que cette propriété est vérifiée pour les premières puissances de a: a^0 , a^1 , a^2 , a^3 , a^4 , a^5
6°En supposant qu´à "l´étape n" on ait x^n=p+qV2=VN+ V(N+1) avec p, q et N entiers, établissez une relation entre p et N ainsi que q et N puis en déduire une relation entre p et q.
7°En déduire alors qu´à "l´étape n+1" on a x^(n+1)=VM + V(M+1) où M est un entier que vous déterminerez en fonction de p et q.

Voilà l´énoncé en entier, je précise que l´on me demande de rendre seulement la rédaction des questions 6 et 7.
Merci,
Cordialement.

1) ok

2) ok. Attention : pense à bien lire l´énoncé : on ne te demande pas de "généraliser sous la forme (p+qV2)(1+V2) où p et q sont des entiers naturels" mais de "calculez (p+qV2)(1+V2), où p et q sont des entiers naturels, et mettre le résultat sous la forme A+BV2 ". Le généralisez est là pour faire dire : pour tout n, a^n se met sous la forme p+q.sqrt(2) avec (p,q) entiers (ce sera utile à la question 7)

3) ok

4) pas de question

5) exemple a^4=17+12.sqrt(2)=sqrt(17²)+sqrt(12²*2)
=sqrt(289)+sqrt(288)

6) on suppose a^n=p+q.sqrt(2)=sqrt(N)+sqrt(N+1)
=sqrt(p²)+sqrt(2.q²)

le problème est qu´on ne sait pas si N est pair ou impair...

Si N est pair : N=2.q² et N+1=p²
Si N est impair : N=p² et N+1=2.q²

Dans tous les cas, p est impair (je sais pas si ça sert mais c´est toujours bon à voir)

7) a^(n+1)=p+2q+(p+q).sqrt(2)
=sqrt((p+2q)²)+sqrt(2.(p+q)²)
=sqrt(p²+4q²+4pq)+sqrt(2p²+2q²+4pq)

Si N était pair : 2q²+1=p²
d´où p²+4q²+4pq=p²+2(p²-1)+4pq=3p²+4pq-2
et 2p²+2q²+4pq=2p²+(p²-1)+4pq=3p²+4pq-1
d´où M=3p²+4pq-1 (qui est entier car p et q le sont)

Si N était impair : je te laisse le faire mais ça doit être pareil

donc a^(n+1) se met bien sous la forme sqrt(M)+sqrt(M+1) avec M entier

Conclusion (et réponse à a question 4) : pour tout n entier naturel, il existe N entier naturel tel que : (1+sqrt(2))^n=sqrt(N)+sqrt(N+1)

Voilou

PS : chaud l´exo de 1èreS, ça doit être du 3 étoiles comme niveau de difficulté...

je te remercie vraiment, même si j´ai pas encore tout compris, ^^
je vais le regarder plus attentivement, juste, que signifie sqrt?

sqrt=square root=racine carrée (en anglais)

je détaille plus la question 6:
on suppose a^n=p+q.sqrt(2)=sqrt(N)+sqrt(N+1)
réécrivons a^n=p+q.sqrt(2)=sqrt(p²)+sqrt(2.q²)

le problème est qu´on ne sait pas a priori qui est le plus grand entre p² et 2q², ni si N est pair ou impair, d´où la séparation entre les deux cas (c´est peut-être pas la séparation la plus maligne mais elle marche...)

si t´as d´autres questions, hésite pas...

Salut, j´ai retravaillé l´exercice, et c´est vrai, je sais pas comment j´aurais fait sans toi, encore merci pour ton aide,
à une prochaine.
;)