Salut !

Voici le problème :

J´ai l´équation 35x - 27y = 1

D´après le théorème de Bezout, je trouve la solution particulière :

x = -10 et y = -13

Ensuite il faut résoudre 35x - 27y = 2

Je multiplie par 2, donc
x = -20 et y = -26

Et a l´aide de ces 2 solutions particulières je dois trouver toutes les solutions de la 2eme équation... Et je ne sais pas du tout comment on fait. Aidez-moi s´il vous plait !

"D´après le théorème de Bezout, je trouve la solution particulière :
x = -10 et y = -13"

Juste comme ca: elle est pas unique, et peu importe le théorème une fois que tu l´as trouvée!

Bon alors c´est un exo assez classique (ca m´étonnerait que tu le voies pas en cours!):
Tu as une solution particulière à la deuxieme équation, il va falloir faire un raisonnement par analyse-synthèse, à savoir:

Analyse: trouver des conditions pour que (x,y) soit solution
Synthèse: restreindre les (x,y) trouvés aux solutions réelles

Donc, tu commences par chercher des conditions:
Je note (x0,y0)=(-20,-26)
35x - 27y = 2
donc 35(x-x0)-27(y-y0)=0 (puisque c´est une solution particulière)

Donc 35(x-x0)=27(y-y0)
Donc 35 divise 27(y-y0) or 35 et 27 sont premiers entre eux donc (théorème de Gauss) 35 divise y-y0: il existe m entier / y-y0=35m
Donc y=y0+35m, et (en réinjectant) x=x0+27m

Il ne reste plus qu´à montrer que les (x,y) de la forme
x=x0+27m
y=y0+35m
sont bien solution, je te laisse le faire, c´est plus facile.