Bonjour je bloque totalement sur un DM de maths concernant les primitives, pouvez vous m´aider svp ?

voici l´exo :

f est la fonction définie sur ]1 ; + linfini [ par f(x) = 4x² - 8x -5 / (x-1)²

1)a) prouvez qu´on peut trouver 2 nombres a et b tels que pour tout x > 1, 4x² - 8x - 5 = a(x-1)² + b et préciser a et b.

b) en déduire une autre ecriture de f(x)

2) déterminer la primitive de f(x) puis étudier les limites de F en 1 et + l´infini.

d´avance

1)a) a = 1/2 et b = 4/3

1)b) f(x) = 1/2(x-1)² + 4/3

Tu lui dis n´importe quoi.

4x² - 8x - 5 = a(x-1)² + b
sachant que (x-1)² = x² - 2x + 1 (avec a²-2ab+b²)

4x² - 8x - 5 = a (x² -2x +1) + b
Donc a = 4 et b = -9

1)b) f(x)= 4 - 9/(x-1)²

1)a) a(x-1)²+b = a(x²-2x+2)+b = ax²-2ax+2a+b d´où a = 4 et b = -9
b) f(x) = (4(x-1)²-9)/(x-1)²
preuve facultative :
4(x-1)²-9 = 4(x²-2x+1)-9 = 4x²-8x+4-9 = 4x²-8x-5
c)Pas encore vu les primitives mais F(x) = (ax²+bx) / (x-1)
F´(x) = (2ax+b)(x-1)-ax²-bx / (x-1)²
F´(x) = 2ax²-2ax+bx-b-ax²-bx / (x-1)²
F´(x) = ax²-2ax-b / (x-1)²
a = 4 b = 5
F(x) = (4x²+5x)/(x-1)
F´(x) = (8x+5)(x-1)-4x²-5x/(x-1)²
F´(x) = 8x²-8x+5x-5-4x²-5x / (x-1)²
F´(x) = (-4x²-8x-5)/(x-1)²
donc F´(x) = f(x) donc F(x) est une primitive de f(x)
Après pour les limites, tu devrais savoir faire.

De rien ! ^^ Après la méthode n´est peut-être pas celle attendue vu que j´ai fait de manière logique sans avoir encore vu les primitives. Mais ça reste bon je pensse...

• pense

J´ai raisonné en ayant juste lu au détour d´un livre que F est une primitive de f si F´(x) = f(x)

Euh, sinon, pour la primitive, on peut faire par superposition :
(exemple : soit f(x) = g(x) + h(x), alors F(x) = G(x) + H(x) à une constante près)

Là, on a f(x) = [a(x - 1)² + b]/(x - 1)² = a + b/(x-1)²

Primitive de a : ax
Primitive de b/(x - 1)² : - b/(x - 1)

On a donc : F(x) = ax - b/(x - 1)

(Ca m´a l´air compliqué, ce que tu fais Bourreau mais en même temps, sans avoir vu les primitives, c´est étonnant )

Je procède juste par identification en utilisant le lien entre fonction et primitive d´une fonction.

Mais je te concède que c´est plus simple en utilisant ta méthode.

Primitive de b/(x - 1)² : - b/(x - 1)

Tu es sûr de cette formule? Moi je ne connais que -1/u : u´/u².

Pas parce que tu ne connais pas que ça n´existe pas, hé oui.

Tu n´as qu´à réfléchir un peu, aussi. Depuis quand la dérivée de u/v est-elle -u/v²(ou alors, si b est un réel, 1/v -> -v/v²)?

Si, au lieu de prendre cette fonction comme 1/u, tu la prends comme u^n, c´est peut-être plus facile à voir.

Et la dérivée de 1/v EST v´/v² ...

(désolé pour double post)

On n´aurait pas oublié un petit quelque chose devant le v´ ?

Euh ... c´est possible