Bonjour. J´ai un problème de maths que je dois rendre pour lundi, et je ne trouve aucune solution. C´est pourquoi je compte sur votre bienveillance pour m´aider. Voici le problème:

Le produit à sommer:

Soit A un nombre. Il s´agit de décomposer ce nombre A en une somme dont le produit est maximal.

Exemple:

Pour A=6

4+2=6
4x2=8

3+3= 6
3x3=9

1+5=5
1x5=5

3.1+2.9=6
3.1x2.9=8.99

Il semble que le produit maximal pour A=6 soit 9

1) Trouver le produit maximal pour A=12 ; 13; 14; 27; 100. Prendre d´abord les décompositions entières, puis avec un chiffre après la virgule, deux chiffres après la virgule, etc...

2) Généraliser pour tout nombre A.

Bon, nous avons trouvé une solution en demandant de l´aide à un ami universitaire, qui nous a montré une fonction logarithmique, que nous n´avons pas encore étudiée. Voici cette fonction:

e^(x/e^(1)) = nombre maximal.

Seulement, nous ne savons comment expliquer cette formule. Merci d´avance pour toute aide.

T´es en quelle classe? Première? Si oui, tu ne fais pas les exponentielles, donc ça servirait à rien de faire ça.

Tu peux exprimer le produit maximal comme le maximum des k*(n-k) pour 0<=k<=n, et trouver le minimum de la fonction associée (qui n´est pas forcément atteint en un nombre entier, mais "presque")

Soit A = a+b (avec a et b réels positifs)

Alors on cherche ab maximal.
Or b = A - a

On cherche donc a(A-a) maximal
On pose f(x) = x(A-x) = -x² + Ax définie sur l´intervalle [0;A]
Alors f est dérivable, et f´(x) = -2x + A

Donc f croissante sur [0;A/2], et décroissante sur [A/2;A]

Donc maximal atteint en A/2

Si on prends a et b réels positifs => A est positif.

Or on demande pour tout A de |R il me semble.

Soit A = a+b (avec a*A>=0 et b*A>=0 , i.e: a,b,A ont le meme signe)

Alors on cherche ab maximal.
Or b = A - a

On cherche donc a*(A-a) maximal
On pose f(x) = x(A-x) = -x² + Ax définie sur |R.

f est une parabole (x->ux²+vx+t) de plus u=-1 , d´où xmax=A/2 (-v/2u)

Oui, j´avais compris ^^

Mais j´ai oublié de préciser qu´on pouvait décomposer A en plus de deux nombres.