Bonjour à tous ! Je vous serais reconnaissant de m´aider à résoudre cet exercice sur les suites :

Démontrer par récurrence que la propriété "2n + 1 < n^2 < 2^n" est vraie pour tout entier n superieur ou égal à 5.

Il faut donc faire avec l´initialisation (on regarde si la propiété est vraie au 1er terme cad 5) puis l´hérédité (on regarde si la propiété est vraie au rang n + 1)

Moi je trouve que l´initialisation est satisfaite car

2*5+1 = 11 < 5^2 = 25 < 2^n = 32

Mais après je bloque je sais qu´il faut poser puis vérifier

2( n + 1 ) + 1 < ( n + 1 )^2 < 2^( n + 1 )

mais voila je sais pas comment faire... si qqn pouvait m´aider

tu a 2n +1 < n²

==> 2n + 1 + 2 < n² + 2

==>2(n+1) +1<(n+1)² -2n +1

tu a -2n+1<0

conclusion:2(n+1)+1<(n+1)²

et pour n² < 2^n

Lemme : Pour n>5, on vérifie facilement que (n-1)²-2>0
ie n²-2n-1>0
ie 2n²>n²+2n+1
ie 2n²>(n+1)²
/Lemme

revenons à n² < 2^n
<=>2n²<2^(n+1)
Or, on a montré que 2n²>(n+1)²
ce qui signifie que : 2^(n+1)>2n²>(n+1)²
d´où 2^(n+1)>(n+1)²

La récurrence est presque achevée.

merci

De rien mon lapin lol. ^^"