bonjour à tous. voici un problème ouvert:
"Soit f une fct dérivable sur ]0;1[ vérifiant les 2 conditions suivantes:
(i)limf(x)=limf(x)=1/2
x=>0 x=>1
x>0 x<1
(ii) Pour tout réel x appartenant à ]0;1[, f´(x)<1
Quel est le nombre de solutions de l´équation f(x)/x=1 dans ]0;1[?"
f(x)/x=1 <=> f(x)=x => f´(x)=1 ( dans ]0;1[ bien sûr)
On en déduit que pour que f(x)/x=1, sur ]0;1[, il faut que f´(x)=1.
Or,ici, f´(x)<1 donc sur ]0;1[,donc il n´existe aucune solution à l´équation f(x)/x=1 sur cet intervalle.
J´aimerais connaître vos avis sur ce problème, sachant que je ne me sers pas de la première condition. Merci à ceux qui répondront.

" f(x)=x => f´(x)=1"
Ça c´est faux. Tu cherches les valeurs de x pour lesquelles f(x) = x. Ça ne veut pas dire que f´(x) = 1. Prends par exemple la fonction cos : tu crois qu´on a cos(x) = x pour les valeurs de x où (cos(x))´ = 1 ?

J´sais pas si j´ai compris, mais on te demande un ou des points où f(x)=x , pas besoin que la dérivée de ta fonction enc e point soit 1. par exemple la fonction constante f(x)=1/2 commence à 1/2 fini a 1/2 et pour x=1/2 f(x)=1/2.

Mais vu que j´ai pas trop capté, j´dis ptet des grosses conneries.

ha ben duna a été plus rapide que moi (le temps que je cogite )... tant pis.

merci à vous, j´ai évité une grosse erreur, reste à chercher...

Mwai, resoudre sur ]0,1[ f(x)/x=1 revient à resoudre f(x)-x=0

Pose sur ]0,1[,g(x)=f(x)-x

g´(x)= f´(x)-1 < 0 avec la condition deux.

==> g est decroissante strictement sur ]0,1[

==> il n´y a qu´une solution à g(x)=0 ou zéro solution (selon le signe de g).

On cherche lim g(x) en 0 et en 1, si les limite sont de meme signe alors il n´y a pas de solution, si elles sont e signe different, y´a une solution.

Je te laisse les chercher.

je trouve lim g(x) en 0 qui vaut 1/2 et lim g(x) en 1 qui vaut -1/2. De plus, g est strictement décroissante sur ]0;1[,donc g(x)=0 pour une seule et unique valeur de x sur cet intervalle. donc l´équation f(x)/x=1 admet une seule solution dans ]0;1[. merci gjgjgjgj!