salut.
Voila j´ai un dm de maths a la rentrée et je seche a cette question la:
montrez que pour tout naturel n non nul on a: 1^3 + 2^3 + ... + n^3 est inferieur a n^4.
J´ai deja essayé la recurrence mais je ne pense pas que ce soit la bonne methode.
Merci de votre aide

Ca marche parfaitement pour récurrence.
Démontre pour n=1.

Ensuite faut savoir développer (n+1)^3 et (n+1)^4 en utilisant le binome de Newton.

Puis tu utilises ton hypo de récurrence.

ok j´essaie ça je te dis si sa marche ;)

en develloppant (n+1)^3 je trouve

n^3 +2n²+2n+1

et (n+1)^4 = n^4 +4n^3+7n²+6n+2

jedis que n^3 +2n²+2n+1 est inferieur ou egal a n^4 +4n^3+7n²+6n+2

or, d´apresl´hypothese de rcurrence,1^3 + 2^3 + ... + n^3 est inferieur a n^4.

donc, 1^3 + 2^3 + ... + n^3+n^3 +2n²+2n+1 est inferieur a n^4 +4n^3+7n²+6n+2 vu que
jedis que n^3 +2n²+2n+1 est inferieur ou egal a n^4 +4n^3+7n²+6n+2

voila c´est ca ou je fais totallement fausse route??

Le raisonnement est bon, seulement tu te trompes dans le calcul:

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

L´autre calcul est faux aussi, les coefficients devant les chiffres sont : 1-4-6-4-1 et la somme des exposants doit etre égale à 4

Il y a un autre moyen de le démontrer sans récurrence (toutes les inégalités sont au sens large) :
1^3 < n^3
2^3 < n^3
...
n^3 < n^3
On fait la somme de toutes ces inégalités et on obtient :
1^3 + 2^3 + ... + n^3 < n^3 + n^3 + ... + n^3
Comme on a n inégalités ça donne :
1^3 + 2^3 + ... + n^3 < n*n^3
donc
1^3 + 2^3 + ... + n^3 < n^4

ok jevous remercie, c´etait simple en fait

j´ai un autre probleme :nonon:

on me demande de donner la forme algebrique puis trigo de (1/2 i)²(1+i racinne de 3)

pour l´algebrique je trouve -1/4 - (racinne de 3)/4

mais apres j´arrive pas a faire laforme trigo car je me retrouve avec des sinteta = (racine de 6)/4 que je n´arrive pas a convertir en radian.

help svp!

Je trouve plutôt sin(theta) = -V3/2.

pour la forme trigo, plutot que de repartir de la forme algébrique, il me parait plus simple (moins calculatoire, moins de risque d´erreur pour moi) de partir de :

(1/2 i)²(1+i racinne de 3)
l´argument de 1+i racinne de 3 est trivial, c´est pi/3
l´argument de 1/2i est pi/2
on fait donc 2(pi/2)+pi/3=-2pi/3

Dont le sinus colle avec ce qu´a dit Dunadan.