Bonsoir à tous, j´aurais besoin de votre aide pour un exercice...

A la fin d´une partie de cet exo, j´en arrive à:
an = 2n + 1
bn = 1 + n²

"La question est : "Démontrez que tout diviseur de an et de bn est un diviseur de 5 et que an et bn ont pour PGCD 5 ssi n congru à 2 (modulo 5)."
Nous savons également dans la partie précédente de l´exercice que:
a1 = 3 et a(n+1) = an + 2
b1 = 2 et b(n+1) = bn + an
Mais je ne pense pas que cela serve.

Je ne parviens vraiment pas à répondre à la question...
J´ai calculé:
an+bn =(n+1)²
an-bn = n(2-n)

Mais je reste bloqué après cela.
Merci d´avance de votre aide, et bonne soirée.

je te conseille de calculer la somme : 4*bn+2*an-(an)²

Efectivement, on trouve que:
4*bn + 2*an -(an)² = 4 + 4n² + 4n + 2 - (4n² + 4n + 1)
Soit 4*bn+2*an-(an)² = 5.
Bien vu
Mais a-t-on le droit de dire que si un nombre est diviseur de a et n alors il est diviseur de 4*bn+2*an-(an)² ??
En tout cas, merci déjà de ta réponse.
Et pour la suite de la question, je ne trouve pas de piste non plus, pour prouver que an et bn ont pour PGCD 5 ssi n congru à 2 (modulo 5)...

Mais en tout cas je te remercie déjà de ta réponse, c´est très sympathique

"Mais a-t-on le droit de dire que si un nombre est diviseur de a et n alors il est diviseur de 4*bn+2*an-(an)² ?? "

J´imagine que tu as voulus écrire : a-t-on le droit de dire que si un nombre est diviseur de an et bn alors il est diviseur de 4*bn+2*an-(an)² ??
La réponse est oui car si on note d ce nombre on a :
par hypothèse :d|an et d|bn (d divise an et d divise bn)
d|an entraine d|an*an car pour tout m entier d|m*an, donc d|(an)²
de meme d|an entraine d|2*an pour la meme raison
de plus d|bn entraine d|4*bn (idem)
donc d|(4*bn+2*an-(an)²)

Je regarde la suite et je te dis tout de suite.

Effectivement c´est bien ce que je voulais dire. Et merci pour ces explications

On a déjà montré : "tout diviseur de an et de bn est un diviseur de 5"

Pour la question suivante, on procède par double implication, comme très souvent lorsque l´on veut démontrer une équivalence :

(1)
Supposons que le pgcd de an et bn soit 5
Alors on a 5|an et 5|bn soit
5|(2n+1)
5|(n²+1)
en terme de congruences ca donne :
2n+1 congru à 0 mod 5
n²+1 congru à 0 mod 5

donc (2n+1)² congru à 0 mod 5
et 4*(n²+1) congru à 0 mod 5

Par "soustraction" on obtient : 4*n congru à 3 mod 5

Ensuite on peut distinguer 5 cas possibles :
soit n congru à 0 mod 5
soit n congru à 1 mod 5
soit n congru à 2 mod 5
soit n congru à 3 mod 5
soit n congru à 4 mod 5

Tu verras que tous les cas sauf 1 conduisent à une contradiciton.
Tu en conclueras que nécessairement n est congru à 2 mod 5

Réciproquement :

(2)
supposons que n soit congrus à 2 modulo 5, ie il existe k entier naturel tel que n=5*k+2.

Notons delta = pgcd(an,bn).
Par définition du pgcd on a : delta|an et delta|bn.
D´après la question précédente, on a donc : delta|5
Il nous suffit a partir de la de montrer que 5|delta pour obtenir l´égalité delta=5.

Alors, tu calules les valeurs de bn et an en fonction de k.
Si je me suis pas planté,
an=10k+5
bn=10k5k25*k² (ie bn=an+25*k²)
Il est clair que 5|an et 5|bn donc 5 est un diviseur commun à an et bn, donc (propriété du pgcd) 5|delta

Alors là chapeau bas
Il y a juste une chose que je ne comprends pas, il s´agit dans la partie (1) de prouver par exemple qu´il est impossible que n soit congru à 0 (mod 5).
En tout cas merci beaucoup d´avoir pris de ton temps pour m´aider

Si en fait c´est bon je pense avoir compris, on utilise ceci:
2n+1 congru à 0 mod 5
n²+1 congru à 0 mod 5

Merci bien

Je t´en prie!

Ah si, une dernière petite chose, je ne comprends pas un petit détail:
(ie bn=an+25*k²)
Que signifie le "ie" ?

ie = c´est-à-dire ^^

en fait il y a plus simple que ce que j´ai écris dans la partie (1)

d´entrée, vu que 5|(2n+1) alors 2n+1 congru à 0 mod 5.
Après mon idée était de comparer tous les cas possible de modulo 5:
par exemple, si n congru à 0 mod 5 alors 2n+1 est congru à 1 mod 5 ce qui est faux d´après l´hypothèse.
Tu fais ainsi les 5 cas, et tu remarques que le seul qui convient est n congru à 2 mod 5.

La première partie de mon explication n´est pas fausse, mais un peu inutile après relecture

Oui, j´avais également remarqué dans ta réponse que l´on pouvait trouver gràce à 5|(2n+1)
Bon ben voilà je crois que cette fois c´est bon, merci encore

oui je me suis un peu emballé ^^

ce fut un plaisir^^