Bonjour à tous.
Je bloque sur un exercice de mathématiques, et espère que vous pourrez m´aider.
Voici l´intitulé du sujet.
"f est la fonction définie sur R par f(x) = (x²+x+1)*e(x)
On note f(1), f(2),...,f(n) ses dérivées successives. On dit que f(n) est la dérivée "n-ième" de f. De même, f(1) est la dérivée notée habituellement f´ "

1.a) Calculez f(1)(x)
Je trouve f´(x) = (x²+3x+2)*e(x) , à priori c´est bon.
Mais c´est la question d´après qui me pose un sérieux problème.

b) Démontrez par récurrence que f(n)(x) s´écrit sous la forme (x² + a indice n *x + b indice n *x)*e(x) où a indice n et b indice n sont des entiers naturels.

Je sais que d´après la question précédente cela est vrai pour n = 1, mais je bloque pour la suite du raisonnement, à savoir qu´il faut prouver que c´est vrai au rang n + 1, en supposant que c´est vrai à un rang n.

Merci d´avance de votre aide.

Pour l´hérédité tu n´as qu´à partir de f(n)(x) = (x² + a indice n *x + b indice n *x)*e(x) et dériver pour trouver f(n+1)(x). Il n´y a rien de bien compliqué là-dedans.

Ah oui au temps pour moi, j´avais complètement zapper que f(n+1)(x) est la dérivée de f(n)(x). Je vais essayer de faire ça. Encore désolé.

Bon, à priori c´est bon, je trouve:
f(n+1)(x) = (x²+ 2*(a indice n)*x + b indice n)*e(x)

Donc puisque a indice n est un réel, 2*a indice n est également un réel.
Donc ça marche

Merci bien

Ta dérivée me semble fausse.

Laquelle ? f´(x) ou f(n+1)(x) ?

Au temps pour moi, après vérification, je trouve
f(n+1)(x) = e^x (x² + 2an*x + an + bn)

Je ne trouve toujours pas ça.

De nouveau un problème, pour une question qui suit...
Voici le sujet:
"On considère les suites (an) et (bn) définies sur N* par:
a1 = 3 et a(n+1) = an + 2
b1= 2 et b(n+1) = bn + an

a) On nous demande de vérifier que (an) est une suite arithmétique et d´exprimer an en fonction de n.
Il suffit d´appliquer les propriétés et définitions, je trouve:
an = 2n+1
La question d´après est cependant plus dure. On nous demande de prouver que
http://img511.imageshack.us/img511/2686/sanstitreee1.jpg (Je le mets sous forme de lien pour plus de compréhension)
Premièrement, je voudrais savoir si cela signifie bien que l´on doit trouver que bn = 2 + a1 + a2 + ... + a(n-1)

Si oui, je sèche complètement pour trouver le résultat, mes diverses méthodes pour répondre à la question ne m´ammenant à rien.
Merci d´avance de votre éventuelle aide. Je ne veux pas la réponse, mais juste le moyen de la trouver.
Merci en tout cas déjà d´avoir pris le temps de lire ce message

Tu as bien compris ce qu´on te demande de montrer, et pour ça tu peux le faire par récurrence.

dunadan63 Au temps pour moi pour la question 1b), j´ai mal recopier l´énoncé, il s´agissait de trouver que f(n)(x) s´écrit sous la forme (x² + a indice n *x + b indice n)*e(x) où a indice n et b indice n sont des entiers naturels.
Donc je pense avoir bon.

Merci encore de ta réponse, je vais essayer la récurrence. J´étais plutôt parti sur les égalités précédentes, mais sans réel aboutissement. Peut être que cela va m´aider
Merci en tout cas.

Pour la 1b) j´avais bien compris qu´il n´y avait pas de x derrière bn. Mais ta dérivée est toujours fausse (à moins que tu aies oublié un signe dans ta dernière réponse). Tu ne pense pas qu´il y a un lien entre les coefficients an et bn et les suites an et bn ?

Bon, alors pour la récurrence, je trouve bien ce qu´il faut en me servant de bn + an = b(n+1)
Mais je n´arriver pa à prouver que cela est vrai au rang n=1
Car cela signifierait que bn= 2 + ao, mais ao n´existe pas...
A-t-on dans ce cas le droit de dire que bn = 2 ? Cela me permettrait de répondre à la question

Pour calculer f(n+1)(x), je pose gn(x) = (x² +anx +bn) et h(x) = e^x

On a gn´(x) = 2x +an et h´(x) = e^x
Or, f(n)(x) = (x²+anx+bn)*e^x
Donc: f(n+1)x = (2x+an)*e^x + (x²+anx+bn)*e^x
Soit f(n+1)x = e^x (x² + (2+an)x + an +bn)

Effectivement, c´est (2+an)x au lieu de (2an) x.
Bon, j´espère que c´est bon cette fois

Oui cette fois c´est bon.

Pour le b1 = 2 tu n´as pas trop le choix je pense.

Oui, cela me semble bon.
En ce qui concerne le raisonnement par récurrence, je trouve donc que b1 = 2 + ao, soit b1=2.

Egalité vérifiée au rang n = 1, on suppose qu´elle est vraie à un rang n, montrons qu´elle est vraie à un rang n+1.
On a b(n+1) = bn + an
Soit b(n+1) = 2 + a1 + a2 ... + a(n-1) + an
b(n+1) = 2 + a1 + a2 + ... + an
b(n+1) = 2 + a1 + a2 + ... + a(n+1-1)
L´égalité est donc vérifiée au rang n+1, et donc pour tout n...
Cela vous semble-t-il juste ?

On doit ensuite en déduire une écriture de bn en fonction de n.
Je suis parti du fait que an est une suite arithmétique, et donc que a1 + a2 + ... + a(n-1) = (n-1) (3+a(n-1)) / 2
Or, a(n-1) = an-2, et an = 2n +1
D´où bn = 2 + (n-1) (2n+2) / 2
Soit bn = 2 + (n-1) (n+1)
bn = 1+n²

Cela est-il juste ?

Nous avons donc an = 2n+ 1 et bn = 1+n²

Je bloque sur une question: Démontrez que tout diviseur de an et de bn est un diviseur de 5 et que an et bn ont pour PGCD 5 ssi n congru à 2 (mod 5)

J´ai calculé pour cette question an + bn et an - bn, mais je ne trouve pas vraiment de conclusion à faire après ça...
an + bn = (n+1)²
an - bn = n(2-n)

Personne ne peut m´aider ?