Bonjour à tous. Je bloque sur un exercice, j´espère que vous pourrez m´aider

"Prouvez que 50^60 - 100^99 est divisible par 7"

Je n´arrive pas à prouver que 50^60 est congru à 100^99 (modulo 7)
Un peu d´aide serait la bienvenue.
Merci d´avance.

ca fait longtemps que j´ai plus revu ca ...
Mais je crois que tu dois demontrer que 50^60 et 100^99 ont le même reste .

50 est congru a 1 [7]
donc 50^60 est congru a 1 [7]

Et 100 est congru a 2 [7]
donc 100^99 est congru a 2^99 [7]

D´ou

50^60 - 100 ^99 congru a 1-2^99 [7]

[7] = modulo 7

Je ne suis pas sûr de mon résultat...je n´ai pas encore vu les congruences en classe et j´ai oublié ce que j´ai vu en juillet

Skayah Merci de ta réponse, mais en quoi prouver que 50^60 -100^99 soit congru à 1-2^99 (7) prouve que cela soit divisible par 7 ?

Fireattack Oui, effectivement, c´est une propriété à laquelle je ne pensais plus vraiment, il y a peut être une piste à suivre. Merci.

Justement, je ne sais pas

Je pense qu´il faut partir de 50^60 congru a 100 ^99 [7] (1)

On suppose (1)
Donc:

50^60 = 7q+r / q E Z
or 50^60 - 100 ^99 = 7k / k E Z

d´ou

50^60 = 7k + 100 ^99

=> 7k + 100 ^99 = 7 q + r 0<r<=7
100^99 = 7(q-k) + r

Soit q-k = L <=> L E Z

100^99 = 7L + r

je sais pas desolé

Reprise de la réponse de Skayah :
50 est congru a 1 [7]
donc 50^60 est congru a 1 [7]

Et 100 est congru a 2 [7]
donc 100^99 est congru a 2^99 [7]

Apres, je dirais ceci :
2^3congrus à 1 (7)
or, 99=3*33 Donc 2^99 congru à 1^33(donc 1) mod 7
Donc 50^60 et 2^99 sont tous deux congrus à 1 mod 7

Et là tu conclus.

hé hé hé J´y étais presque

Prouver que c´est divisible par 7 c´est prouver que c´est 0 mod 7.

50 = 1 mod 7
50^60 = 1 mod 7

100 = 2 mod 7
100^99 = 2^99 mod 7
100^99 = (2^3)^33 mod 7
100^99 = 1 mod 7 car 2^3 = 1 mod 7
d´où 50^60-100^99 = 0 mod 7

Ah merde, owned

Merci à vous
Je n´arrivais pas non plus à conclure, il me manquait le 2^99 congru à 1.
Merci bien