Salut, pour demain j´ai un DM et je bloque déjà sur le 1er ex ;D
Soit n> (ou égal) à 1 un entier naturel; démontrer que :

1x2+2x3+...+n(n+1)= Somme de k(k+1) = (n(n+1)(n+2))/3

J´ai commencé par dire qu´au rang 1, l´égalité marche, après je fais comme ce qu´on a fait en cours, mais je vois pas quoi faire:
je dis qu´on suppose l´égalité vraie pour un certain rang n>1, alors je cherche pour n+1, et là je vois plus quoi faire...
Merci

Ca s´appelle une démonstration par récurrence.

Tu montres l´égalité au rang 1 (tu l´as fait).

Ensuite :

Supposons que 1x2+2x3+...+(n-1)n = ((n-1)n(n+1))/3 (vrai au rang n)

1x2+2x3+...+n(n+1)= 1x2+2x3+...+(n-1)n + n(n+1) = ((n-1)n(n+1))/3 + n(n+1)

Tu ajoutes ces 2 termes et tu devrais trouver (n(n+1)(n+2))/3 (vrai au rang n+1)

Je vais essayer mais je comprends pas pourquoi tu utilises (n-1)n

Somme à calculer au rang n :
1x2+2x3+...+(n-1)n

Somme à calculer au rang n+1 :
1x2+2x3+...+n(n+1)

Ah oui d´accord.
Bon ben je rédige tout ça et je te dis si je trouve le bon truc ;)

Juste une petite correction : l´initialisation se fait au rang n = 2 et non 1 ici car n > 1

Donc ça me ferait:

(n-1)n(n+1) + 3n(n+1) (au dénominateur)
C´est ça? Si c´est ça j´arrive pas à trouver que c´est égal à ce que je cherche :/

Look :

((n-1)n(n+1))/3 + n(n+1) = n(n+1)((n-1)/3 + 1) = n(n+1)(n-1+3)/3 = n(n+1)(n+2)

= n(n+1)(n+2)/3

J´ai oublié le /3

C´est du programme de S?? c´est ce que je fais en licence d´eco gestion sortant d´un bac ES je comprend rien lol

Je comprends pas comment tu passes de la 1ère égalité à la deuxième

J´ai mis n(n+1) en facteur des 2 termes de la somme

D´accord j´ai compris ;D
Merci beaucoup!

Pendant que j´y suis, j´ai encore une petite question (j´ai même tout un ex mais tu m´as déjà suffisamment aidé ^^) : si t´as Uo=4, et Un+1 = Racine de Un.
C´est évident que Un sera toujours supérieure ou égale à 1, mais comment le rédiger? (c´est une des questions du dernier ex du DM :/ )

De rien

Il te suffit de le montrer par récurrence :

U0 > 1 OK

Supposons U(n) > 1

Alors U(n) est > 0 et donc V(U(n)) > V1 = 1

Donc U(n+1) = V(U(n)) > 1

Je suis d´accord mais je comprends pas un truc: A quoi ça te sert de dire alors Un > 0?

Pour prendre la racine carrée il faut que U(n) soit > 0

Ah oui pardon. Je comprends ce que tu fais mais y´a quelques trucs qui me paraissent bizarres: à la base tu pars de la supposition que Un>1, mais c´est ce qu´on doit prouver, on a le droit de le faire?

Ah je crois que j´ai mal posé la question à la base, c´est pour ça ^^
En fait on a: Uo =4, Un+1 = racine de Un
On doit prouver par récurrence que Un est toujours supérieure ou égale à 1