Bonjour j´ai un petit DM a faire, je n´es réussi que la moitié xD
Si vous pouviez m´aider je vous en serai très reconnaissant

2 - Trouver les fonctions continues de IR -> IR telles que "Pour tout x appartenant a IR et pour tout x´ appartenant a IR, f(x+x´) = f(x) + f(x´)

3 - P(n) est une fonction polynomiale réelle, exprimer ses coefficients à l´aide de ses dérivées successives.

4 - g ≠ 0, g´ ≠ 0, Donner la confition sur f et g pour avoir f/g = f´/g´.

5 - Donner la condition sur a appartement a IR*+, pour que f(x) = ABS(x)^a (≠ ABS(x^a) ) soit dérivable en 0.

8 - B = lim x-> 0 de ((1/sinx) - (1/(x+x^2)).

Je sais c´est plus que la moitié mais j´y arrive vraiment pas...

Merci d´avance...

Erf : ≠ c´est le signe différent =/=

2 - C´est l´ensemble des fonctions linéaires (de la forme f(x) = ax).

3 - Par exemple tu as P(x) = ax² + bx + c. On remarque que c = P(0). P´(x) = 2ax + b, et on remarque que b = P´(0). P´´(x) = 2a, et on remarque que a = P´´(0)/2.
Je te laisse trouver la formule générale.

Ok merci

En gros on a :

P(x) = (P´´(0)/2)x^2 + P´(0)x + P(0)

Si j´ai P(x) un polynome de degré 3 :

P(x) = (P´´´(x)/6)x^3 + (P´´(0)/2)x^2 + P´(0)x + P(0)

Si c´est du degré n je suppose que ça doit faire :

P(x) = ((P^(n)(0)/n!)x^n + (P^(n-1)(0)/(n-1)!)x^(n-1) etc...

C´est ça ?

J´imagine que c´est ça j´ai essayé jusqu´au degré 4

Im manque :

4 - g different de 0, g´ different de0, Donner la confition sur f et g pour avoir f/g = f´/g´.

5 - Donner la condition sur a appartement a IR*+, pour que f(x) = ABS(x)^a soit dérivable en 0.

8 - B = lim x-> 0 de ((1/sinx) - (1/(x+x^2)).

Dur pour de la terminale quand meme! (le 2 en tout cas, pour le passage des rationnels aux réels)
Pour la 5 calcule la dérivée a gauche de 0, à droite de 0, et c´est dérivable en 0 si et seulement si les deux nombres dérivés (leurs limites) sont égales.

Pour la 2) comment on démontre que seul la fonction linéaire corresponds a f(x+x´) = f(x) + f(x´) ?

Pour la 5 moi je trouve que c´est toujours dérivable en 0 sauf pour a = 1 ABS(x)^1 = ABS(x) non dérivable en 0

picto j´ai pas compris quand t´a dit le passage des rationnels aux réels

Pour la deux tu peux (et je sais pas le faire autrement d´ailleurs) procéder par étapes:
D´abord montrer que quel que soit n entier (positif)
f(n)=n*f(1)
Puis passer aux négatifs, puis aux rationnels.
Jusque là tu devrais être capable de le faire, mais ensuite il faudrait pouvoir passer aux réels, et on a besoin d´utiliser l´hypothèse de continuité et je vois pas comment le faire avec strictement ce que je savais faire en terminale.

Pareil pour la 8 je vois pas comment faire avec le programme de terminale.

Pour la 5 tu t´es trompé, si a est strictement plus petit que 1, la dérivée (à gauche par exemple) tend vers l´infini et donc ce n´est pas dérivable en 0, je trouve qu´il faut (et suffit) que a > 1

a est strictement supérieur a 0 par définition...

Oui mais c´est un réel. Et picto te dis que tous les réels entre 0 et 1 (1 inclus) ne conviennent pas. Alors que toi tu as dit que seul 1 ne convient pas.

Effectivement...

Donc je dit : pour que ABS(x)^a soit dérivable en 0, il suffit que a soit strictement supérieur a 1.

Mais pour le démontrer ?

Ben tu fais ce que je t´ai dit: calculer les limites des dérivées a gauche et a droite et faire une étude de cas pour voir les cas où c´est égal (et fini).

Euh je fais ça :

f(x) = ABS(x)^a

Si f(x) est dérivable en 0, alors lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) est un réel l.

On a donc lim x-> 0 ABS(x)^a/x.

Pour a > 1 : =x^(a-1) =0
Pour a = 1 : Deux dérivés différence a gauche et a droite, donc
Pour a < 0 : Forme indeterminée...

T´as pas compris, il FAUT faire la limite à gauche (x<0) puis à droite (x>0) et comparer, sinon ça n´a aucun sens (on n´est pas sur de l´existence de la limite).

Et pour a<1 (1 pas 0) regarde de plus pres, si tu distingues bien les deux cas ya pas du tout de forme indéterminée.

a > 1 :

lim en 0+ = x^a/x = x^(a-1) = 0
lim en 0- = -x^a/x = -x^(a-1) = 0

a = 1 :

lim en 0+ = x/x = 1
lim en 0- = -x/x = -1

a < 1 :

Blocage...

a < 1:
lim en 0+ = lim (x^a-1) = lim 1/x^(1-a) = +infini car 1-a > 0

Euuuh...

A tout hasard je trace la fonction abs(x)^(1/2) et je trouve que la limite en 0+ c´est 0

Pareil avec la fonction abs(x)^(1/3)...

Ah nan ça va...

Fallais divisé par x...

Au temps pour moi, merci picto