Bonjour j´ai un exercice d´un genre un peu nouveau à faire en spé maths et je ne vois pas trop comment m´y prendre c´est pour ça que j´aurais besoin d´une petite aide.

x et y désignent des entiers relatifs.
E est l´équation diophantienne 2x²-y²=5
En raisonnant modulo 5, démontrer que l´équation n´a pas de solution.

Je vous remercie d´avance

L´idée est d´étudier l´équation modulo 5. Cette technique est très puissante pour montrer qu´une équation n´a pas de solutions rien qu´en l´étudiant modulo un certain nombre. En fait ton exercice est un peu "spécial" car l´étude modulo 5 ne va pas te permettre de conclure directement, mais elle va te permettre d´affirmer que si un couple d´entiers (x,y) € Z² existe, alors x et y sont forcément des multiples de 5. Ceci fait, nous allons conclure via le théorème de Bézout.

Premièrement nous avons 5 = 0[5]. Puisque l´on a égalité, si un tel couple (x,y) existe, alors il doit vérifier : 2x² - y² = 0[5].

Si n = 0[5] alors n² = 0 [5] et 2n² = 0[5]
Si n = 1[5] alors n² = 1[5] et 2n² = 2[5]
Si n = 2[5] alors n² = 4 = -1[5] et 2n² = -2[5]
Si n = 3[5] alors n² = 9 = 4 = -1[5] et 2n² = -2[5]
Si n = 4[5] alors n² = 16 = 1[5] et 2n² = 2[5]

Tu en conclus donc que les différents résidus modulos 5 pour n sont -1, 0 ou 1 et pour 2n², -2, 0 ou 2. A partir de ça, les différents résidus de la différence 2x² - y² sont :

-2 - (-1) = -1
-2 - 0 = -2
-2 - 1 = -3
0 - (-1) = 1
0 - 0 = 0
0 - 1 = 1
2 - (-1) = 3
2 - 0 = 2
2 - 1 = 1

Ainsi on a 2x² - y² = -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3 [5]
Or toi tu veux 2x² - y² = 0[5]. On a bien "0" dans la liste des résidus (chouette), or ce "0" n´apparait que si x = 0[5] et y = 0[5] (d´après notre liste çi-dessus), ainsi, si un tel couple (x,y) existe, alors x = 5k et y = 5m, avec (k,m) € Z².

L´équation se réécrit alors :

50k² - 25m² = 5 <=> 10k² - 5m² = 1

En posant U = k² et V = m², notre équation se réécrit alors :

10U - 5V = 1.

Or 10 et 5 ne sont pas premiers, le théorème de Bézout nous permet alors d´affirmer que l´équation n´admet aucune solution dans les entiers.

ne sont pas premiers entre eux*

beaucoup j´avais pensé à faire une recherche exhaustive comme cela mais je ne pensais pas que ce serait aussi efficace et surtout je n´aurais pas eu l´idée de faire le lien avec Bézout
Merci en tout cas