Bonjour,

D´après mon cours j´ai:
- Si f est dérivable en a alors lim f(x) (x->a) = f(a)
- Dire que f est continue en un point a signifie que f a une limite finie en a et que cette limite est nécessairement f(a).
f continue en a <=> lim f(x) (x->a) = f(a)

D´où ma question: comment démontrer dans un cas général qu´une fonction est dérivable et continue (ou pas) sur R?

Autrement dit sur un intervalle I... Je pense que c´est pareil non?

Je ne sais pas si ça se démontre, mais moi ce que j´ai appris (et dont je me souviens...) c´est que les fonctions polynome sont dérivables et continues sur leur domaine de définition, les fonctions valeur absolue aussi je crois, et les fonctions racine sont dérivables et continues sur leur domaine de définition sauf zero

Le-Singe La valeur absolue n´est pas dérivable en 0.

La définition d´une limite n´étant pas vraiment au programme de terminale, tu es obligé de te ramener aux limites de référence et aux opérations.

Exemple:
f:x->2*x + 1
Soit a dans R.
On sait que x->x admet a pour limite en a, donc x->2*x + 1 admet une limite réelle en a (qui est 2*a + 1) et donc f est continue sur R.
Ou alors dire directement (mais ca se démontrerait de cette manière) que f est une fonction polynome donc continue et dérivable.

En pratique tu dois connaître quelques fonctions (polynomes, racines, exponentielle, logarithme, valeur absole, sinus, cosinus et tangente je crois avoir fait le tour) et utiliser les opérations (somme, produit, inverse, composée) pour démontrer la continuité / dérivabilité.

Ok je vois... Afin d´être sûr de comprendre, pourriez vous m´expliquer avec l´exemple suivant?

f(x) = |x²-1|

Je pense qu´elle est continue et dérivable sur R, mais bon...

Peut-être faut-il utiliser fog, la composée de deux fonctions?

Continue c´est sûr (la composée de 2 fonctions continues est continue). Dérivable c´est moins sûr (en particulier en -1 et 1).

Je suis pas sûr de bien m´imaginer la fonction, mais je sais pas la tracer sur la calculatrice! Je trouve pas les | pour valeur absolue...

Trace la fonction x² - 1. Et tu fais une symétrie par rapport à l´axe des abscisses de la partie qui est négative.

Ok donc c´est bien ce que j´avais dessiné à la main en calculant des valeurs... Donc je pense qu´elle est aussi dérivable en -1 et 1, mais faut le prouver...

Calcule les limites à droite et à gauche de la dérivée en -1 et 1. Ça m´étonnerait fortement que tu aies la même chose.

Toutes les limites tendent vers 0. Quand c´est x<1 ou x<-1 c´est 0- et 0+ pour x>1 et x>-1.

Le limites de la dérivée ? Pour les limites de la fonction oui (ça montre qu´elle est continue).

Ahhh de la dérivée... Bon je pense que je vais directement poser la question à ma prof demain afin d´être sûr.

Merci à tous pour vos aides

Mercii vous m'avez bien servi

ta definition de derivée est fausse
la defition la voici
lim [f(a+h)-f(a) ]/ h (h->0) tend vers f'(a) als f est derivable en a
l'equivalent avec lim [f(x)-f(a)]/(x-a) (x->a) tend vers f'(a)

sinon les fonctions valeurs absolues ne sont pas derivable en 0
pourquoi ?
prenons x->|x|
sur R- c'est x->-x donc sa derivé sur R- est x->-1
et sur R+ c'est x->x donc sa derivé sur R+ est x->1
et tu vois bien qu'en x tend vers 0- et vers 0+ tu n'as pas la meme chose
alors cette fonction n'est pas derivable en 0
par contre elle est derivable en tout point de R different de 0
car par la defition que je t'ai proposé ca marche
et tu vois bien pr te rassurer que pour a strictement positif quand x tend vers a+ et a- tu as bien la meme chose (pour la derivée!!) de meme pr a strictement negative

pr ta fonction x->|x²-1|
entre -1 et 1 ta fonction est x->1-x² de derivée : 1-2x sinon a l'exterieur de -1 1 c'est x->x²-1 de derivée 2x-1
quand x->1- tu as : -1 pr la derivée et x->1+ tu as 1 pr la derivée ce n'est pas pareil donc c'est pas derivable en 1 (resultat analogue en -1)