Bonsoir à tous j´ai un dm de spé maths à rendre pour demain qui porte sur l´arithmétique et plus particulièrement sur les Congruences et je bute sur deux questions du dernier exercice.
Je ne vois pas du tout comment faire c´est pour cela que je fais appel à vous. Je vous remercie d´avance de me donner quelques indications pour trouver
J´ai vérifié que 111 était divisible par 3

n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. un est le nombre dont l´écriture décimale est constituée uniquement de 1 :
un = 11...11 (avec n chiffres 1)

Démontrer que un= (10^n - 1)/9

Puis dernière question :
Démontrer qu´il existe une inifinité d´entiers naturels dont l´écriture décimale est constituée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n.

encore une fois d´avance

Pistes:
-pour la question 1:
1111 = 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0

-pour la question 2:
je suis emmerdé vu que je n´ai pas de papier ni de stylo sous la main (ordis de l´école...)
L´exo est franchement délicat pour un TS, donc pour éviter des réponses qui semblent tomber du ciel, je met tout ce qui me passe par la tête pour te donner une idée de l´esprit dans lequel il faut que tu cherches les pistes.

Au lieu de montrer que (10^n-1)/9 est divisible par n, on va montrer que 10^n-1 est divisible par 9n, c´est à dire divisible par 9, puis divisible par n.

Divisible par 9:

partir de 10 = 1 (9)...

Divisible par n:

Il faut que tu aies réussi le cas "divisible par 9" pour comprendre ou je veux en venir.
Si oui:
On cherche n tel que:

10^n = 1 (n)
Evidemment ca ne marche pas pour tous les n, mais ce qui compte c´est qu´il y en ait une infinité (un exemple pour être "tous les n pairs", ce qui en fait bien une infinité mais pas tous).

Aprés avoir cherché quelques minutes, on voit que c´est 3 mais trop dur à prouver. En fait, il y a plus simple une fois qu´on devine que c´est n multiple de 3: le critère de divisibilité par 3 utilisé sur 11...11111.

je vois en effet ce que tu veux dire et je pense avoir trouvé c´est très sympa de ta part en tout cas

Si j´ai compris l´ensemble des solutions sont 3 ; 9 ; 27 ; 81 etc ?