Bonjour,

Je suis totalement bloqué sur un exercice, c´est pourquoi je solicite votre aide.
Je vous enonce le problème:

On considère l´équation différentielle (E): y-y´=e^x/x² et on cherche l´ensemble des solutions de cette équation définies sur ]0;+00[

1/ Demontrer que la fonction u définie sur ]0;+00[ par u(x)=e^x/x est solution de (E)
2/ Démontrer qu´une fonction v définie sur ]0;+00[ est solution de (E) ssi la fonction v-u définie sur ]0;+00[ est solution de l´équation différentielle y-y´=0
3/ En déduire toutes les solutions définies sur ]0;+00[ de l´équation (E)

Merci d´avance a qui pourra m´aider.
Amicalement

Personne pour m´offrir un peu d´aide?

1) Tu dérives u(x). Ainsi tu as en ta possession u´(x) et u(x). Tu vérifies que u(x) - u´(x) est bien égal à (e^x)/x².

2)
Soient (v-u) solution de y - y´ = 0.
Tu remplaces donc dedans et tu en déduis l´expression de v´.

v - u - v´ + u´ = 0
v´ = v - u + u´

On a donc v et l´expression de v´. Tu remplaces dans y - y´ = e^x/x² pour vérifier si v est solution :

v - v´ = v - v + u - u´ = u - u´

On a montré plus haut que u-u´ est bien égal à (e^x)/x².

Donc v définie sur ]0;+00[ est solution de (E) ssi la fonction v-u définie sur ]0;+00[ est solution de l´équation différentielle y-y´=0.

3) Toutes les solutions :

y(x) = v

J´ai compris la 1 et la 2 mais pas la 3. POurriez vous me détailler un peut que je comprenne le pourquoi du comment s´il vous plait?

Merci en tout cas!

Ca vient du fait que la solution générale (Regroupant toutes les solutions de l´équation complète) d´une équation différentielle est la somme de la solution homogène (solution de l´équation sans second membre) et de la solution particulière (UNE solution de l´équation complète).

Bon bah tu as montré que u était une solution particulière et que (v-u), une solution homogène.

y(x) = yh(x) + yp(x) = u + v - u = v

(Pour une équation différentielle linéaire)