à tous !

J´ai un petit problème pour mon DM de maths : /

On nous donne la somme :

S = 1 + 2^p + 2^2p + 2^3p + ... + 2^p(q-1)

Et on nous demande que prouver que 2^pq congru à 1 mod(2^p-1)

Jusque là, tout va bien, la somme S est en fait la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme U0 = 1, de raison 2^p et de nombre de termes q.

On obtient donc l´égalité suivante : S = (2^pq - 1)/(2^p - 1)
Ce qui permet de démontrer la congruence.

Maintenant, on me demande de prouver que 2^pq - 1 est divisble par 2^q - 1.
Je ne vois absolument pas comment faire, j´ai essayé plusieurs méthodes, sans succès...

D´autant que je ne vois pas comment simplifier (2^pq - 1)/(2^q - 1) pour ensuite prouver qu´il appartient à Z ou N.

Voilà, merci de votre aide

Ah...j´ai completement oublié la congruence! j´ai trvaillé ca penant lété..dsl

en fait, tu l´as déjà fait ^^

note S´=1 + 2^q + 2^2q + 2^3p + ... + 2^q(p-1)
alors on a la relation (2^q -1)*S´ = 2^pq - 1
donc (2^q - 1) divise (2^pq - 1)

mais plutot que de refaire la démo, il suffit de dire :

2^pq congru à 1 mod(2^p-1)

ssi

2^pq - 1 congru à 0 mod(2^p-1)

donc on en déduit en intervertissant le role p et q :

2^qp - 1 congru à 0 mod(2^q-1)

ie

(2^q - 1) divise (2^pq - 1)

On a le droit de poser S´ comme ça ? Et d´intervertir le rôle de p et q ? J´sais pas, ça me parait bizarre

dans un premier temps on te donne la somme S, après tu l´a utilisé pour montrer ce qu´on te demandait.
Pourquoi ne pas avoir le droit de reprendre l´idée de la démo pour l´appliquer à un autre cas de figure

En gros tu refais la démo.

Sinon, tu peux réutiliser ce que tu viens de faire sans refaire la démonstration de bout en bout.
Tu n´a pas précisé les hypothèses sur p et q.
Pour montrer que 2^pq congru à 1 mod(2^p-1), tu as considéré que p et q étaient des entiers naturels non nuls quelconques.
Donc on en fait la propriété suivante :
"soient r et s deux entiers naturels non nuls quelconques, alors 2^rs congru à 1 mod(2^r-1)"
Vu que la démonstration a été faite dans un cadre général, tu peux l´appliquer au cas particulier r=p et s=q ou alors r=q et s=p.

Ce qui revient à intervertir le rôle de p et q par rapport à la première question.

Ouais, ok ^^

Merci ^^

de rien^^