Bonjour, j´ai un exercice pour demain que je pense avoir compris mais je ne suis pas sûr de quelques points.

P(x)= x^3-4x²+5x-2

1)Démontrer que 2 est une racine de P.
P(2)=0

2)En déduire une factorisation de P(x)
P(x)=(x-2)Q(x)
P(x)=(x-2)(ax²+bx+c)
Et c´est la où je ne suis pas sûr, je ne sais pas vraiment comment trouver Q(x)
Je sais juste que si P(x) est de degré n, Q(x) est de degré n-1

Mais je ne sais pas si il y a à chaque fois 3 réels ou si il peut en avoir plus ou moins, si les signes peuvent changer, bref, j´aimerais que vous m´expliquiez comment trouver Q(x)

développe ta formule, pis apres tu compares aux coeffs de début et ça te donne plusieurs mini équations :

ax^3 + bx² +cx -2ax² - 2bx - 2c
Tu remets tout ensemble :
ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x -2c
et tu calcules par rapport aux coefficients de départ, tu fais une comparaison quoi :
a = 1
(b-2a)=-4
c-2b=5
-2c=-2
Tu résous ça et ça te donnes tes a,b,c.

Enfin, vérifies que j´ai pas fait de faute d´innatention quand même parce que bon

Merci mais ce que je n´ai pas compris c´est comment trouver Q(x).

bha justement, une fois que t´as a,b,c t´as Q(x)

Au début t´as écrit : Q(x) = ax² + bx + c
bha tu remplaces les a,b,c par les valeurs que tu trouves en résolvant ce que j´t´ai montré et t´as Q(x).

Je vois pas ton problème.

Oui mais comment trouver Q(x) avec a,b et c, si dans Q(x) il peut y avoir d, si Q(x) peut être égal a (ax²-bx-c), bref si Q(x) est toujours égale à (ax²+bx+c) ^^

hein ?
J´comprends même pas ton problème.
Quand tu factorise un polynome P du degré 3, bha t´as la cas général :
P(x)=(x-x0)(ax²+bx+c)= (x-x0)Q(x)
où x0 est une des racines de P

Bon, bha tous les trinomes (j´entends par là polynomes du second degré) sont de la forme ax²+bx+c.
Où a,b,c appartiennent à R et peuvent prendre n´importe quelle valeur dans R.
J´veux dire, si ça t´amuses, tu peux décréter, bha mon polynome il est égal a ux²+vx+w mais ça change rien, t´auras juste a=u, b=v et c=w.

Donc, pour trouver une écriture de Q, il faut et il suffit de trouver ses coefficients.
si tu prends un d et que tu dis : bha mon Q(x)=d alors t´obtiens ax²+bx+c=d c´est tout.

a,b et c sont des variables qui sont spécifiques a chaque trinome et qui ne changent pas une fois que t´as ton trinome. Alors que x varie.
Donc un polynome, sauf si t´as pas de x dedans (ce qui équivaut a a=b=0) bha il prend différentes valeurs selon x. Il peut pas être toujours égal à une seule valeur autrement, justement car x n´a pas de valeur fixe.

Sur ce, si j´ai toujours pas répondu à ta question, je peux rien faire pour toi, parce que je vois pas ce qui te pose problème.

Bah par exemple, pour P(x) = x^6 - 4x^5 + 3x^4
P(1)=0
Donc, P(x) = (x-1)(ax²+bx+c) ?

bha non.
la t´as un polynome de degré 6, pas 3.
Par conséquent, ta factorisation sera :
P(x)=(x-1)(ax^5+bx^4+cx^3+dx²+e)

Prenons un cas où tu as un polynome P de degré n :
Admettons que tu trouves une racine évidente a P et que tu l´appelles x0.
Alors la factorisation de P sera :
P(x)=(x-x0)Q(x).
Où Q(x) sera du degré n-1.

Ce qui signifie, que si P est de degré 3 alors Q est de degré 2, donc s´écrit : ax²+bx+c
Si P est de degré 4, alors Q est de degré 3 et s´écrit ax^3+bx²+cx+n. etc
En généralisant, si P est de degré n, alors Q est de degré n-1 et s´écrit :
ax^(n-1) + bx^(n-2) + cx^(n-3) + ... + gx² + hx + i
(j´ai mis les dernières lettres au pif, sachant que comme ça marche pour n´importe degré bha j´pouvais pas anticiper de lettre finale ^^)

Merci ! c´est exactement ce que je voulait savoir ^^