Salut

Pourrait-on m´expliquer ou me donner des pistes de recherche pour cet exercice :

Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel n > ou égal à 1, il existe deux nombres entiers naturels pn et qn tel que : (2+V3)^n = pn + qn V3

beaucoup

- Pour n = 1, la proposition est évidemment vérifiée avec p1 = q1 = 1
- On suppose n vrai, donc il existe deux entiers pn et qn tels que :
(2 + sqrt(3))^n = pn + qn*sqrt(3)
Montrons que la proposition est vrai au rang n+1 :
(2 + sqrt(3))^(n+1) = (2 + sqrt(3))(2 + sqrt(3))^n
D´où :
(2 + sqrt(3))^(n+1) = (2 + sqrt(3))(pn + qn*sqrt(3))
Soit en développant et réordonnant les termes :
(2 + sqrt(3))^(n+1) = (2pn + 3qn) + (pn + 2qn)*sqrt(3)
En notant p_(n+1) = (2pn + 3qn) et q_(n+1) = (pn + 2qn), on a bien
(2 + sqrt(3))^(n+1) = p_(n+1) + q_(n+1)*sqrt(3)
avec p_(n+1) et q_(n+1) entiers naturels (car sommes et produits d´entiers naturels).

ca signifit quoi sqrt et _ ?

sqrt = square root = racine carré.

mais que signifit _

[p_(n+1) et q_(n+1)]

C´est pour signaler que (n+1) est l´indice.
Car les notations pn+1 et p(n+1) auraient pu porter à confusion.

a ok merci beaucoup, moi l´indice je le met avec le "chapeau" : ^
J´essaye de réecrire ce que tu m´as expliquer sur feuille pour comprendre

c´est bon je vois de quel indice tu parles, de l´indice n+1 en dessous de p et q et non en puissance