Slt, je vois plein de topic de dm TS cet aprem sur le forum :p
Bah sa en fera un de plus

Donc voila :

2 Suites u et v definie par U0=3 , V0=5, pour tout entier naturel n on a :
U(n+1)=2UnVn / Un + Vn
V(n+1)=(Un+Vn)/2

1) Je dois montrer que les termes des suites U et V sont strictement positif, j´ai pas encore fait cette question mais je pense qu´en montrant que Un+Vn et UnVn sont positifs alors ont pet repondre a la question.

2) J´ai montré que V(n+1)-U(n+1)= (Vn-Un)² / 2(Un+Vn)

3)a) On pose Wn=Vn-Un pour tout n de N

Je doit montrer que 0 <(ou egal) W(n+1) <(ou egal) 1/2 Wn

J´ai une indiquation : On pourra remarquer que :
( V(n+1)-U(n+1) ) / ( V(n+1)+U(n+1) ) = 1- ( (2Un)/(Vn+Un) )

Je ne sais pas vraiment comment faire cette question

b) En deduire avec un raisonnement par recurrence que pour tout entier naturel n on a :

0 <(ou egal) Wn <(ou egal) (1/2)^n-1

c) et enfin sire si la suite W est convergente.

Voila je bloque sur la question 3, je ne sais pas si je dois proceder par recurrence pour la a), j´ai essayé mais sa ne m´a rien donné...

Salut,
Bon, c´est un peu loin de moi tout ça, mais j´espère pouvoir t´aider. ^^
C´est assez bordélique, il y a peut-être plus simple, mais au moins j´ai une réponse pour toi.

1) Ca doit marcher avec une simple récurrence.

3) C´est aussi de la récurrence. Je te laisse la commencer.
Arrivé au rang n+1, réécris W(n+2) en partant de la définition Wn=Vn-Un.
Ensuite, utilise l´égalité démontrée au 2) puis démontre l´indication pour pouvoir l´utiliser.
Normalement, tu devrais tomber sur :
W(n+2)=((V(n+1)-U(n+1))²/(2(U(n+1)+V(n+1)) (en utilisant 1) et la supposition 0<W(n+1), on peut déjà conclure que 0<W(n+2))
W(n+2)=(1- 2Un/(Vn+Un))*(1/2)(V(n+1)-U(n+1))
Soit W(n+2)=(1- 2Un/(Vn+Un))*(1/2)W(n+1)
Reste à montrer que W(n+2)<(1/2)W(n+1) (en ayant supposé 0<W(n+1)<(1/2)Wn).

Cela revient à dire que (1- 2Un/(Vn+Un)) est inférieur à 1.
<=> 2Un/(Vn+Un) < 1.
<=> 2Un < Vn+Un (car Vn et Un > 0)
<=> Un<Vn
<=> 0 < Vn-Un
<=> 0 < Wn
Miracle, on est retombé sur nos pattes. ^^
Tu réécris ça dans l´autre sens, et ça devrait passer !

Normalement, tu devrais tomber sur :
W(n+2)=((V(n+1)-U(n+1))²/(2(U(n+1)+V(n+1))

Euh j´ai deja essayé une recurrence et je suis pas du tout tombé sur sa... je vois pas comment t´arrive a sa...

Le suite je comprend a peu pres, mais sans comprendre la premiere partie c´est un petit peu dur

Comment sa je suis nul ??

"2) J´ai montré que V(n+1)-U(n+1)= (Vn-Un)² / 2(Un+Vn) "
Ceci est aussi égal à W(n+1), tu es d´accord ?
Donc qu´en est-il pour W(n+2) ? Il suffit d´augmenter le rang de 1, et tu tombes bien sur
W(n+2)=((V(n+1)-U(n+1))²/(2(U(n+1)+V(n+1))

Ma récurrence est plutôt bizarre, puisque je pars de W(n+2) pour montrer que c´est à la fois supérieur à 0 et inférieur à 1/2 W(n+1) et accomplir la récurrence. Mais la démarche est là...

Ok j´ai compris pour W(n+2)

W(n+2)=((V(n+1)-U(n+1))²/(2(U(n+1)+V(n+1))

W(n+2)=(1- 2Un/(Vn+Un))*(1/2)(V(n+1)-U(n+1)

Derniere incompréhension, comment tu fait pour passer de la premiere forme de W(n+2) a la seconde ? Tu te sert de l´indication donnée mais je voit pas vraiment comment

Dans la première forme, tu retrouves l´égalité de l´indication, à la différence près qu´il y a un (1/2)(V(n+1)-U(n+1)) en plus, donc je le retranscris en plus à la fin (n´oublie pas la dernière parenthèse).

Si tu préfères, tu prends l´indication, et tu multiplies par (1/2)(V(n+1)-U(n+1)) des deux côtés pour retrouver la première forme.

Ok j´ai compris

Donc meme si dans l´indication on parle Vn-Un , le fait qu´on ait V(n+1)-U(n+1) ne change rien ?

Voilà. Si Wn=Vn-Un, pour tout n entier naturel, tu auras pareil quelque soit le rang.

Ok Merci Beaucoup

Vais essayé de travailler sa maintenant, meme si tu m´a bien bien maché le travail

Merci

J´ai donné une trame pas mal détaillée ouais, même si un peu bordélique.