Bonjour,

Un sujet similaire a été posté il y a pas longtemps mais je n´ai pas trouvé ce qui m´intéressait.

J´ai réussi à trouver quelques rpéonses mais pas toute, je vous poste le sujet:
1)Supposons que racine carré de 2 soit rationnel. On peut alors écrire racine carré de 2 = p/q , avec p et q entiers, et l´on peut supposer que la fraction p/q est irréductible.
Vérifier alors l´égalité p² = 2q².

pour cette question j´ai réussi

2) En déduire que p est pair. On pose alors p = 2n.
Là je pense avoir trouvé, si on pouvait me confirmer, par contre ma phrase est peut-être un peut embrouillante.
Si q est un entier alors q² est un entier et entier multiplié par 2, qu´il soit pair ou impair est pair. Alors 2q² est pair et donc p² est pair. Un nombre pair au carré donne un nombre pair et un nombre impair au carré donne un nombre impair donc p est pair.

3)Montrer que 2n² = q². En déduire que q est pair.
J´ai trouvé comment montrer que 2n² = q² et je suppose que pour la deuxième quesiton le raisonnement est similaire au 2)

4) Voilà où je bloque vraiment, je pensais avoir toruvé mais non:
Les questions 1), 2), 3) conduisent à une contradiction. Laquelle? Conclure?

En éspérant que vous pourrez m´aider ;)

Salut,
Effectivement, c´est un problème ultra classique donc il y a des tonnes de sujet qui le traite sur ce forum.
2 et 3, ton raisonnement est juste mais un peu confus.
Dis juste que 2q² est pair (puisque multiple de 2...), donc p² est pair, donc p est pair.
Mais il faudrait peut-être que tu justifies un peu plus le "p² pair" <=> "p pair".

4) On avait supposé que p/q était irréductible. Or que se passe-t-il si à la fois p et q sont pairs (= divisibles par 2 au moins) ?

4) Ah bah oui, si ils sont pairs et qu´ils sont divisibles par 2 la fraction p/q n´est donc pas irréductible. Ca, c´ets donc la contradiction. Pour conclure, faut faire quoi alors? Faire une règle?

Non, tu dis juste un truc dans le genre "nous avions supposé que V2 pouvait s´écrire sous la forme d´une fraction irréductible, or nous avons montré que cette même fraction ne pouvait être irréductible, cette contradiction implique donc que le postulat de départ est erroné, donc V2 n´est pas un nombre rationnel".
Enfin, en moins bordel peut-être.

OK, merci beaucoup de ton aide. J´ai juste à justifier un peu plus le "p² pair <=> p pair" comme tu dis, peut-être une équation?

En tout cas, encore merci de ton aide, c´est sympa ;)