à tous

Je bloque sur quelques exercices en maths sur les suites, et notamment sur les relations de réccurence

Exo n°1 :

(Un) est la suite définie par Uo = 1 et Un+1 = V(2+Un) pour tout n non nul

Démontrez que pour tout n naturel, 0 =< Un <= 2 ( Un supérieur ou égal a 0 et inférieur ou égal a 2)

Exo N°2 :

Soit a un réel tel que a >= 0
démontrer par réccurence que pour tout n >= 0 , (1+a)n = 1+an ( " 1 + a puissance n = 1 + a fois n)

Voila pour les exercices.
Dernière question, y´a un truc que je pige pas trop, c´est comment obtenir Un à partir de Un+1. La par exemple j´ai un exo (que je n´ai pas encore cherché ^^ ) ou j´ai Un+1 = 5U(n-4)
avec U0 = 3 et je dois démontrer que Un = 2*5^n +1 :s
Donc comment obtenir Un à partir de ces deux éléments

d´avance à tous ceux qui voudront bien me répondre (pas forcément le résultat, mais juste la manière de traiter les exercices )

Merci

exo 1 :
Je te fais pour te montrer le principe de la récurrence.
Initialisation :
U0 = 1 donc 0 <= U0 <= 2
La propriété est vraie pour n = 0.
Développement : supposons que 0 <= Un <= 2, et montrons qu´alors 0 <= U(n+1) <= 2
0 <= Un <= 2
2 <= 2 + Un <= 4
V2 <= V(2 + Un) <= V4
0 <= V2 <= U(n+1) <= 2
On a montré que si la propriété est vraie pour n alors elle est vraie pour n+1.
Donc par récurrence pour tout n naturel on a 0 <= Un <= 2.

exo 2 :
C´est bizarre parce que l´égalité qu´on te donne est fausse : si je prends a = 1 et n = 2 alors on a :
(1 + a)^n = (1 + 1)² = 2² = 4
et 1 + an = 1 + 1*2 = 1 + 2 = 3

Pour ta dernière question il faut le montrer par récurrence : tu montres que U0 est bien de la forme Un = 2*5^n + 1 puis que si Un = 2*5^n + 1 alors U(n+1) = 2*5^(n+1) + 1.

Merci beaucoup !

En fait je m´étais trompé sur l´exo 2 : c´est

Soit a un réel tel que a >= 0
démontrer par réccurence que pour tout n >= 0 , (1+a)^n >= 1+an
je pensais faire (1+a)^n - (1+an), mais je sais pas s´il existe une règle pour développer (1+a)^n

Personne

Il faut encore utiliser la récurrence. Montre que c´est vrai pour n = 0 puis en partant de (1+a)^n >= 1+an montre que (1+a)^(n+1) >= 1+a(n+1).