Soit U = 2 - 2iracine(3)

1. Determiner tous les nombres complexes z, sous forme trigonométrique, tels que z^4 = U [ facile ... ]

2. Determiner tous les nombres complexes z, sous forme algébrique, tels que z^4 = U [ là, je cale :´( ]

3. En déduire les valeurs de sin(pi/12) et cos(pi/12) [ sans doute facile avec le resultat du 2 ]

Voilà, je voudrais seulement la réponse à la 2. Mais, j´ai tapé tout le problème pour que tout soit clair et qu´on ne me résolve pas z sous forme trigo

Il suffit de convertir ton écriture exponentielle en coordonnées cartésienne non ?

Mais le but de l´exo étant de trouver les valeurs de sin et cos, il faut essayer de résoudre l´équation de deux méthodes différentes.
(car cos et sin pi/12 interviennent dans l´écriture trigo)

1. bon tu factorise par 4 et tu a cos machin + i sin machin
de la tu passe donc à u = 4 e**i machin.
(sauf erreur le machin doit etre -5*Pi/6
de la c´est le racine 4eme du module et differentes possibilités pour les arguments. (mais apparement tu as deja reussi)

2. Tu as trouvé en 1. module et argument donc tu utilise les relations suivantes :
module = (Re**2 + Im**2)**(1/2)
cos (argument) = Re/Module
sin (argument) = Im/Module

avec ces relations ca doit passer

En fait, avec cos = Re/module et sin = Im/module
et la relation fondamentale liant sin et cos, on retombe sur ta première formule.
Il est donc impossible de trouver cos et sin uniquement avec ces formules

pourtant si mes souvenir de terminale et sup sont corrects (enfin je suis pas sur), c´est bien avec ces formules que tu le fais et je crois que ca marche toujours

Ok, je vais essayer de cogiter plus longtemps alors

c´est bien ca :
la 1ere est la definition du module

Pour 2 et 3 :
on veut
x+i*y=r(cos T + i sin T), soit x/r + i * y/r = cos T + i sin T

on conclut par unicité de la partie reelle et de la partie imaginaire

Le problème, c´est qu´on n´a ni x, ni y, c´est ceux-là qu´il faut trouver dans le 2, je pense.

Le 1 te donne un nombre z= r.e^(i.teta)

avec teta certainement égal à 1/12 vu l´exo.

Donc z= r (cos (teta) + i sin (teta) )...

Si je remplace dans l´équation de nicowopr, ca me donne ...

x/r = rcos/r = cos
y/r = rsin/r = sin

Ca ne m´avance pas, il me faut les valeurs algébriques de x et y

ben tu as ton resultat sous tes yeux :

x/r=cos => x= r cos et tu connait r ainsi qe ton argument, donc a fortiori tu connais son cosinus.

idem, y = r sin

Sauf que j´ai ni x, ni y, et on me demande de calculer la valeur algébrique du cosinus, c´est à dire sans la calculatrice, on peut donc considerer le cosinus comme étant une inconnue, ici. Ca nous fait : inconnue = constante* inconnue, c´est moyen.

Bref, j´ai réussi à faire la question deux algébriquement.
Changement de variable avec z², ca marche très bien ( Merci d´avoir intervenu et réflechi )

Je repète: si tu sais que z=r.e^(i.teta)

alors tu sais que z=r.(cos(teta) + sin(teta)).

Rha, exo résolu !

Mais je vais quand même m´expliquer :

A la fin, on cherche cos(teta) et sin(teta)

Avec la question 1, on trouve : z = r (cos(teta)+isin(teta)
D´où cos(teta) = Re(z)/r et sin(teta) = Im(z)/r

C´est la raison pour laquelle, dans la question 2. on demande de trouver Re(z) et Im(z) INDEPENDEMMENT de cos et sin teta.
La question 2 est ainsi une résolution d´équation de manière algébrique, et non une simple déduction des resultats de la 1.