Mais niveau TS.

Bonjour,

Je cherche une solution SIMPLE pour ceci :

Soient x, y, et z trois nombres complexes de module 1 et de somme égale à 1. Démontrer que l´un de ces trois nombres est égal à 1.

Merci...

je sais pas si c´est aussi simple que ce que tu souhaitais, mais ça pourrait donner une méthode comme ça :
-déjà tes trois nombres sont de module 1, ce qui équivaut à dire qu´ils peuvent s´écrire exp(i*a), exp(i*b) et exp(i*c).
tu remplaces x,y,z par ces nouvelles expressions dans l´égalité x+y=1-z,
-tu appliques la formule des angles moitiés des deux cotés pour trouver quelquechose du genre
exp(i*machin)*cos(truc)=exp(i*bidule)*sin(chose).

-en multipliant par exp(-i*bidule) des deux cotés, tu trouves que, pour que les deux membres de ton égalités soient réels, il faut que exp(i*(machin-bidule) soit réelle, ce qui te donne une première condition entre les 3 arguments de tes exponentielles, qui te permet d´exprimer l´un en fonction des deux autres.
-Tu réinjectes dans x+y=1-z, tu refais un coup d´angle moitié, et tu dois retrouver une condition qui te permet d´exprimer l´un des arguments inconnus en fonction de l´autre, et là ça doit être bon (sinon tu continues à réinjecter jusqu´à ce que mort s´ensuive). Logiquement ça marche, mais c´est à vérifier par le calcul.

J´avais déjà trouvé une méthode similaire, j´arrive à un truc du genre

e^i(a+b-c)*(cos(a+b)/sin(c))=i
d´où il faut que l´argument de l´exponentielle soit égale à pi/2, et que le truc avec cosinus et sinus soit égal à , d´où j´arrive à la bonne conclusion.

Mais j´espérais un raisonnement moins calculatoire, plus simple, plus "joli" ^^

Merci quand même =)

je pense pas qu´il y ait de raisonnement plus élégant que celui là.