Pour ceux qui avaient besoin de la preuve que l´école d´ingé ravage le cerveau, je suis incapable de résoudre cette énigme (et ça me pète les burnes).

Deux logiciens S et P connaissent respectivement la Somme et le Produit de deux entiers compris entre 2 et 200 (au sens large).

P: "Je ne peux pas déterminer ces nombres"

S: " Je le savais"

P: "alors je les ai trouvés"

S: " Et bien Moi aussi !"

Sauriez-vous trouver ces nombres ?

je vois comment ils ont fait pour trouver les nombres, mais sans la somme où le produit, il semble rester une vingtaine de possibilité, ou alors j´ai loupé quelquechose...avis aux amateurs.

16 et 111

tu peux m´expliquer ton raisonement Okami83 ? parce que d´apres moi il est impossible de trouver les deux nombres avec ces données.

Conjecture de Goldbach

.

c.1) Solution dans le premier cas (valeur maximum connue, égale à 100).

Pierre: Non, je ne peux pas trouver ces deux nombres.

Ceci signifie que le produit P peut se décomposer d´au moins deux
manières différentes en produit de deux nombres compris entre 2 et 100.
Par exemple, on pourrait avoir P = 75, car ce produit se décompose en
3*25 ou 5*15, mais on ne peut pas avoir P = 77 car alors la
décomposition serait unique : 7*11.

Voici une liste de valeurs que nous pouvons d´ores et déjà éliminer:
- toute valeur inférieure à 4 ou supérieure à 10000
- le produit de deux nombres premiers (par exemple 77 = 7*11)
- le cube d´un nombre premier (par exemple 125 = 5*25)
- le double du carré d´un premier plus grand que 10 (par exemple,
242 = 2*11*11 = 11*22 : la décomposition en 2*121 est impossible)
- un multiple strict d´un nombre premier plus grand que 50 (par exemple
318 = 6*53)
- le produit du carré d´un premier plus grand que 10 par un nombre
premier (par exemple 242 = 2*11*11 = 11*22 ; la décomposition en
2*121 est impossible)
- et bien d´autres...

---

Sophie: Je le savais.

Ceci signifie que la somme S ne peut pas s´écrire comme somme de deux
nombres dont le produit aurait été éliminé dans l´étape précédente.

Par exemple, la somme 11 convient car tous les produits possibles sont
"non uniques" :
11 = 2+9 ; 2*9 = 18 = 3*6
11 = 3+8 ; 3*8 = 24 = 2*12 = 4*6
11 = 4+7 ; 4*7 = 28 = 2*14
11 = 5+6 ; 5*6 = 30 = 2*15 = 3*10

En revanche, la somme 13 ne convient pas car :
13 = 2+11 ; 2*11 = 22 (pas d´autre décomposition)

Par conséquent, on peut commencer par éliminer toutes les sommes de
deux nombres premiers. Vous pouvez vérifier que cela élimine déjà
toutes les sommes paires (ceci a été conjecturé par Goldbach dans le
cas général, et vérifié par ordinateur sur beaucoup plus de nombres que
ce dont on a besoin pour résoudre ce problème). Pour ce qui est des
sommes impaires, on élimine celles qui sont égales à un nombre premier
plus 2: 5 (3+2), 7(5+2), 9(7+2), 13 (11+2), etc.

Après ce premier débroussaillage, il nous reste les sommes qui sont
égales à un nombre composé impair plus 2 : 11 (3*3 + 2), 17 (3*5 + 2),
23 (3*7 + 2), 27 (5*5 + 2), 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, etc.

Nous pouvons aussi supprimer toutes les sommes S à partir de 57,
puisque :
si 57 <= S <= 153, on peut écrire S = 53 + n, avec 4 <= n <= 100,
si 155 <= S <= 197, on peut écrire S = 97 + n, avec 58 <= n <= 100,
si S = 199, on peut écrire S = 100 + 99.
Dans chacun de ces trois cas, le produit P correspondant (soit 53*n,
soit 97*n, soit 100*99) a une décomposition unique.

On peut enfin supprimer la somme S = 51 = 17 + 34, car le produit
P = 17*34 n´a pas d´autre décomposition.

Voici donc la liste exhaustive des sommes possibles à cette étape du
raisonnement, avec pour chaque somme la liste des produits possibles.

11 : 18 24 28 30
17 : 30 42 52 60 66 70 72
23 : 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
27 : 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
29 : 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
35 : 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306
37 : 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340
342
41 : 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 400 408
414 418 420
47 : 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 496 510
522 532 540 546 550 552
53 : 102 150 196 240 282 322 360 396 430 462 492 520 546 570 592 612
630 646 660 672 682 690 696 700 702

---

Pierre: Dans ce cas, je connais les deux nombres.

Pour que Pierre puisse faire cette affirmation, il faut que le produit
P se trouve une fois et une seule dans la liste que nous venons
d´écrire. Cela élimine donc les produits P = 30 (S = 11 ou 17), P = 42
(S = 17 ou 23), etc. Il reste:

11 : 18 24 28
17 : 52
23 : 76 112 130
27 : 50 92 110 140 152 162 170 176 182
29 : 54 100 138 154 168 190 198 204 208
35 : 96 124 174 216 234 250 276 294 304 306
37 : 160 186 232 252 270 336 340
41 : 114 148 238 288 310 348 364 378 390 400 408 414 418
47 : 172 246 280 370 442 480 496 510 522 532 540 550 552
53 : 240 282 360 430 492 520 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696
700 702

---

Sophie: Alors moi aussi.

Pour que Sophie puisse dire cela, il faut qu´il ne reste plus qu´un
seul produit correspondant à la somme qu´elle connaît. Ceci n´est
réalisé que si la somme est 17, auquel cas le produit est 52. Les
nombres de départ sont donc 4 et 13.

c.2) Solution dans le second cas (valeur maximum inconnue).

Pierre: Non, je ne peux pas trouver ces deux nombres.

Ceci signifie que le produit n´est pas le carré ou le cube d´un nombre
premier, ni le produit de deux nombres premiers. Nous ne pouvons rien
en déduire de plus pour le moment.

---

Sophie: Je le savais.

Comme dans le premier cas, nous pouvons éliminer toute somme paire et
toute somme d´un nombre premier avec 2, et il nous reste les sommes
égales à un nombre composé impair plus 2. Contrairement au premier
cas, nous ne pouvons éliminer aucune autre somme. La liste
(incomplète) des sommes et produits possibles est la suivante:

11 : 18 24 28 30
17 : 30 42 52 60 66 70 72
23 : 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
27 : 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
29 : 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
35 : 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 ...
37 : 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 ...
41 : 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 ...
47 : 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 ...
...

---

Pierre: Dans ce cas, je connais les deux nombres.

Comme tout-à-l´heure, nous éliminons les produits P qui se trouvent
plus d´une fois dans la liste. Il reste (liste exhaustive pour toutes
les sommes inférieures à 200) :

11 : 18 24 28
17 : 52
23 : 76 112
27 : 50 92 140 152 176
29 : 54 100 208
35 : 96 124 216 304
37 : 160 232 336
41 : 148 288 400
47 : 172 280 496
51 : 98 144 188 308 344 608 620 644
53 : 520 592
57 : 212 260 392 656 800
59 : 220 688
65 : 244
67 : 192 472 1116
71 : 268 448 880
77 : 292 832 976
79 : 228 568 1504
83 : 316 1072 1216
87 : 332 632 836 1136 1340 1472 1880
89 : 1168
93 : 356 1040 1856 1952
95 : 1264 1984
97 : 712 1296
101 : 388 1144 2368 2440
107 : 412 2752
113 : 436 1552
117 : 452 872 1616 3392
119 : 1648 2728
121 : 904 2848
123 : 242 476 1712 3440 3776
125 : 484 1744 3904
127 : 1776
131 : 384 508 3784 4288
135 : 266 524 896 1016 1904 2996 3296 3956 4544
137 : 4672
143 : 556 2032 4120 5056
145 : 1096 2176 3616
147 : 290 1112 1496 2096 2432 3680 4280 5312
155 : 604 2224
157 : 1192 3712
161 : 628 2320 6208 6424
163 : 4192
167 : 652 2416 5080 6592
171 : 338 668 1304 2480 2888 3020 3404 3888 4448 5240 5504 6848 6968
7100 7304
173 : 2512 6976
177 : 692 3140 7232
179 : 2608
185 : 724
187 : 1432 7552
189 : 374 1448 2768 2924 5024 5624 7208 7448 7808
191 : 8128
197 : 772 2896

---

Sophie: Alors moi aussi.

Ici encore, il doit rester un seul produit sur la ligne de la somme
correspondant à ce qu´a Sophie. Là encore, les nombres 4 et 13 sont
solution (S=17, P=52), mais ce ne sont plus les seuls. Les autres
solutions sont: 4 et 61 (S=65, P=244), 16 et 73 (S=89, P=1168), 64 et
73 (S=137, P=4672). Bien évidemment, on ne tiendra pas compte des cas
où l´un des nombres est plus grand que 100, par exemple pour S=127 et
P=1776: les nombres seraient 16 et 111.

ah ok...moi j´avais juste que l´un devait être une puissance de deux et l´autre un nombre premier qui n´est pas deux. en tout cas merci...

bourreau>> qu´est ce qu´elle vient foutre là la conjecture de Goldbach ?

ok j´avais pas lu.

après une première lecture rapide, ça me parait quand meme sacrément tordu, et j´ai l´impression qu´il manque des briques de raisonnement dans ton pavé (qui fleure bon le copié collé tout de meme...). Et si P ou S est supérieur à 100 qu´est ce qui se passe ?

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Kakà

Je comprend pas comment l´énigme du début peut devenir réalisable oO même avec un pavé comme ça... ( que je ne lirais pas ) les mathématiques sont surprenantes !

en fait c bon le cas supérieur à 100 est traité. je suis content de pas m´etre acharné dessus trop longtemps quand meme...

http://faq.maths.free.fr/texte/faq45.html