bonjour,

"me promenant sur un site, je tombe sur ceci :

Résoudre sans utiliser le Delta l´équation suivante : x² + x + 1 = 0 (1)

Voici sa brillante méthode : l´équation (1) peut s´écrire :

x² + x = -1

ou encore, en divisant par x ( on peut le faire car x=0 n´est pas solution de l´équation) :

x + 1 = - 1/x (2)

Mais on peut aussi déduire de (1), en soustrayant x2 aux deux membres :

x + 1 = - x² (3)

De (2) et (3) il vient - 1/x = - x² qui peut s´écrire :

x^3 = 1 (4)

Ceci nous conduit immédiatement à la solution x = 1 .

Et donc, en remplaçant x par 1 dans l´équation (1), on vient de démontrer que... 3 = 0"

Ma question est : selon vous, comment invalider ce raisonnement ?

Au revoir

On ne peut pas, 3 = 0, c´est la triste vérité.

ce sont des conditions nécessaires, mais pas suffisantes.

Tu transformes une équation du second degré en équation du troisième, sachant que t´es pas censé avoir trois solutions, tu dois vérifier que ces solutions "marchent" pour le problème proposé.

Les deux autres possibilités, j et j², fonctionnent.

Manque les "soit", "donc", symboles d´implication et possibilité de faire le "retour".

Oui, mais où exactement se situe le problème ? et comment montrer qu´il n´y a pas équivalence, mais simple implication ?

tu pars de x^3 = 1 et t´essaies de revenir à la première équation.

et, ... t´y arrives pas.

Il manque le retour entre :

x+1 = -1/x
x+1 = -x²

=> -1/x² = -x²

et surtout tu remarques que

(x^3-1)=0 <=> (x-1)(x²+x+1) = 0

<=> x=1 ou x²+x+1=0

grosso modo (1)*(x-1) = (4) ...

• the_bricedenice profil

* Posté le 27 août 2007 à 00:50:35 avertir modérateur
* ce sont des conditions nécessaires, mais pas suffisantes.

Tu transformes une équation du second degré en équation du troisième, sachant que t´es pas censé avoir trois solutions, tu dois vérifier que ces solutions "marchent" pour le problème proposé.

Les deux autres possibilités, j et j², fonctionnent.

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à mon avis, le problème n´est pas là, le fait d´avoir rajouté la transformation (4) ne change rien, si on reste au second degré avec 1/x = x² on trouve la même chose.

Donc l´idée d´une transformation au 3ème degré posant problème n´est pas bonne.

En fait il y a équivalence, c´est juste que (dans R) les deux propositions sont fausses:
l´équation d´origine n´a pas de solution (discriminant strictement négatif)
3 n´est pas égal à zéro

Tu as prouvé que si il existe une solution a l´équation dans R alors 3 = 0. Or il n´y a pas de solution a l´équation, et donc pas de contradiction.

@ terminator > l´histoire du troisième degré, c´est un moyen visuel de voir qu´il y a un problème. C´est pas "normal" de tomber sur une équation de degré 3 (ou de degré 3 déguisée, on peut toujours diviser par x en supposant x différent de zéro ...) alors qu´on est parti d´une équation de degré 2.

Le principal problème restant que les deux propositions (1) et (4) ne sont pas équivalentes. Après, je m´amuse pas à résoudre dans R, le côté "pas de solution dans R" est plus là pour brouiller les mentalités jusqu´en Terminale qu´autre chose.

si tu préfères (4) n´implique ni (2) ni (3)

mais le probleme n´a plus aucun sens dans C vu que dans C, x^3 = 1 a trois solutions et l´auteur ne serait jamais arrivé à 3=0 s´il considérait son probleme dans C...

Autre explication :

"x+1 = -1/x
x+1 = -x²

=> -1/x² = -x²"

Ici, on perd l´équivalence. Quand on a un système de deux équations, on ne peut pas dire qu´il est équivalent à UNE SEULE équation déduite des deux premières. Il faut garder au moins une des deux équations.

Autrement dit le raisonnement correct à partir d´ici est :

x+1 = -1/x et x+1 = -x²

<=> -1/x = -x² et x+1 = -x²

<=> x^3=1 et x+1 = -x²

<=> x=1 et x+1 = -x²

Or 1+1 =/= -1²

Donc pas de solution dans R.

C´est faux, deja quand tu arrives a : x²+x = -1 c´est deja absurde et impossible =)

"arriver" a quelque chose d´absurde et impossible n´a rien de "faux" pour peu que tu mettes les liens logiques correspondants.

Par contre l´équivalence n´a aucun intéret :
On par d´une proposition A dont on ne connait pas la véracité (il existe x tel que x² + x + 1 = 0 dans R)

On a prouvé que A => Faux (3=0). On en déduit directement que A est faux, car si A était vrai, eh ben 3 serait égal à 0 (absurde), et donc il n´y a pas de solution dans R.