Bonjour
Je bloque sur une partie d´un problème dont voici une partie de l´énoncé:
On se propose de calculer par la méthode du contour la transformée de Laplace inverse de la fonction de la variable complexe F(p)=exp(-racine(p)), où racine(p) désigne la détermination principale de la racine carrée complexe de p.
On notera f(t) la transformée de Laplace inverse de F définie pour t un réel strictement positif.
On rappelle que f(t)=1/(2i*pi)*int(F(p)exp(tp)dp)(sur delta)
Ici delta est n´importe quelle droite du plan complexe d´équation Re(z)=b>0 . Il s´agit donc d´une intégrale le long d´un chemin dans le plan complexe, où la variable d´intégration est ici traditionnellement notée p au lieu de z.
Pour calculer cette intégrale, on va utiliser le contour de Bromwich que voici:

http://img101.imageshack.us/img101/6782/sanstitre2lq9.png

Montrer que la limite quand R tend vers l´infini de cette intégrale sur CR est égale à la limite quand R tend vers l´infini de cette même intégrale sur CR´ et qui est égale à 0.

Bah ça ressemble à du théorème des résidus, avec lemme de Jordan.

Il n´y a pas de pôles dans le contour de Bromwich, donc le théorème de Cauchy suffit à montrer que l´intégrale sur tout le contour est nulle.
J´ai démontré que l´intégrale sur Cr quand r tend vers 0 est nulle, il reste à démontrer qu´elle est nulle sur CR et CR´ quand R tend vers l´infini, et la transformée inverse sera donc égale à -1/(2*i*pi)*l´intégrale sur AB+DE.

euh, dites moi aps que ça c´est de la physique de terminal S?

non t´inquiètes^^

https://www.jeuxvideo.com/forums/1-35-7820020-1-0-0-0-0.htm
| Citation de : tele-beauf
| Date du message : 01 juin 2007 à 21:09:26
| Contenu du message :
| "euh, dites moi aps que ça c´est de la physique de terminal S? "

Non, ce sont des Maths de TS
Blague à part, à quel niveau voyez-vous ce genre de Maths ?
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Anonymous59, tyran à temps partiel

Je dirais à Bac+3.

Exact
Sinon, en faisant le changement de variable p=R*exp(i*téta) on trouve
|int(exp(tp-racine(p))dp)|=int(R*exp(tR*cos(téta)-
racine(R)*cos(téta/2))d(téta)) qui, sur CR, est < R*int(exp(tR*cos(téta))d(téta)) dont il faut montrer que ça tend vers 0 quand R tend vers l´infini.

"Sinon, en faisant le changement de variable p=R*exp(i*téta) on trouve

|int(exp(tp-racine(p))dp)|=int(R*exp(tR*cos(téta)-
racine(R)*cos(téta/2))d(téta))"
Attention, c´est juste une majoration pas une égalité.
Je ne crois pas que tu devrais majorer par R*int(exp(tR*cos(théta))d(théta)). Essaye plutôt de couper ton intégrale en deux de theta0=Arccos(b/R) à Pi/2 et de Pi/2 à theta1. Il est alors facile de montrer que la deuxième intégrale tend vers 0. Pour la première, tu peux majorer exp(tR*cos(téta)) par exp(tb) ,valeur en theta0=Arccos(b/R) de la fonction qui est décroissante sur [theta0,Pi/2] puis exp(-racine(R)*cos(théta/2)) par exp(-rac(R)/2) valeur en theta1 de la fonction qui est croissante sur [theta0,Pi/2]. Y a peut-être plus simple, mais ça, ça me semble marcher ce qui est déjà pas mal...

"exp(-rac(R)/2) valeur en theta1"
Je voulais dire valeur en Pi/2...

Je vais essayer
J´avoue que je ne m´attendais pas vraiment à avoir de réponse, vu le niveau et le difficulté.
Sinon j´ai un autre exercice pratiquement identique où une méthode est proposée mais je ne suis pas arrivé au bout. L´énoncé est exactement le même sauf qu´il faut calculer la transformée de Laplace inverse de F(p)=1/racine(p). La fonction à intégrer est donc ici exp(tp)/racine(p). Pour cela, on décompose cette intégrale en deux intégrales, l´une sur les points de CR tels que Re(p)<=a, l´autre sur les points de CR tels que Re(p)>=a:
int(sur CR)= int(sur CR tel que RE<=a)+ int(sur CR tel que Re>=a)= I1 + I2 où a est un réel pour le moment quelconque, -R<=a<=b<R.

a) Majorer chacune de ces deux intégrales I1 et I2, afin de montrer que |I1+I2|<=pi*racine(R)*exp(at) + racine(R)*[arcsin(b/R)-arcsin(a/R)]*exp(bt)

b) Chercher le minimum de ce majorant lorsque a varie. En déduire la limite.

c) Montrer de même que lim (int(sur CR´))=0

a) J´ai réussi (avec assez de mal) à le démontrer.

b) Je suppose qu´il faut calculer la dérivée par rapport à a du majorant et trouver quand elle s´annule, mais je trouve (R²-a²)*exp(2at)=exp(2bt)/(t*pi)². A partir de là je ne vois pas comment arriver à a=
Mais peut-être qu´on finit par trouver a=0 comme dans ta méthode.

c) Ca doit être pareil que sur CR.

OMG... Quelle saleté les fonctions holomorphes....

Trouver le min en dérivant ne me semble pas évident. Mais vu que ce que tu veux c´est que le majorant tende vers 0 quand R tend vers +infini, il suffit de choisir a=a(R)=-(R)^(1/3) qui est dans [-R,b] pour R>1

Le majorant tend vers 0 pour a=-(R)^(1/3) mais comment est-on sûr que ce soit son minimum?

Sinon, pour en revenir au 1er cas, j´ai réussi à démontrer que l´intégrale tend vers 0 entre arccos(b/R) et pi/2 mais pas entre pi/2 et pi, ni sur CR´.

Bah tu fais un tableau de variations. ^_^

Pour faire un tableau de variation, il faut calculer la dérivée par rapport à a du majorant, donc désolé mais

Parce que tu as cru que j´étais sérieuse ... -_-"