Bonjour,

Voilà mon frère a un exercice jugé difficile à faire en arithmétique. On sèche tous les deux dessus, si quelqu´un pouvait bien nous aider.

Soient (x,y,z) € N*. Résoudre cette équation

1/x + 2/y - 3/z = 1

Merci.

Déjà t´as les couples triviaux (x,y,z) = (2,1,2) et (2,2,6). J´vais jeter un oeil à l´exo pour voir si ce sont les seuls

Premièrement, quand tu es face à une équation où les variables manipulées sont des nombres entiers, une méthode consiste à travailler en terme d´inégalités.

1/x + 2/y - 3/z <=> 2xz + yz - 3xy = xyz.

On a alors 2xz + yz > xyz <=> 2x + y > xy <=> y(x -1) < 2x.
- Si x = 1, alors 3y = 2z et donc y = 2k, z = 3k, avec k € N*

- Si x différent de 1, alors

y < 2x /(x - 1) <=> y < 2 + 2 /(x - 1)

Pour x = 2, on a y < 4, ce qui donne les solutions (2,1,2) ; (2,2,6) ; (2,3,18) pour respectivement y = 1, y = 2 et y = 3

Pour x = 3, on a y < 3. Or 6z - 9z = 2yz, ce qui implique que y est pair. Ainsi la seule solution est (3,2,9).

Pour x > 3, on a y <= 2. Si y = 1, alors z(x + 1) = 3x. Or x et x + 1 sont premiers entre eux et donc x + 1 divise 3, ce qui est impossible. Finalement, si y = 2, on a les solutions (l,2,3l) avec l € N* et l > 3.

En conclusion, l´ensemble des solutions est formé des triplets : (2,1,2) ; (2,3,18) ; (1,2k,3k) ; (l,2,3l) avec k € N* et l € N avec l >= 2

Merci infiniment

Je ne comprends pas, il y´a des couples que tu as trouvées pendant ta résolution, mais que tu ne mentionnes pas à la fin, ils sont passés où ?

Les couples ôtés sont (2,2,6), (3,2,9) qui sont un cas particulier du couple plus général (l,2,3l) avec respectivement l = 2 et l = 3