j ai n^2 <= n!
donc il fau prouver (n+1)^2 <= (n+1)! = n! * (n+1)

donc je repars avec ce que je sais
n^2 <= n!
(n+1)(n^2) <= n! * (n+1)

bref il me reste plus qu a trouver pour quel n
(n+1) (n^2) => (na+1)^2 , c bien sa??
bref la je trouve n=> 2, mais comme sa c pour n+1, alors pour n, il fau n=> 3,
alors que n^2 <= n! pour n => 4, et pas 3 ..
ou est l erreur? ..

n² <= n!
vrai au rang 4 (et pas vrai avant hein)

on a donc:
n²(n+1)<=(n+1)!

Soit (n+1)²-n²(n+1)<=0
(n+1)²<=n²(n+1)
n+1<=n² <-> -n²+n+1<=0

une racine positive ~1.61 à droite c´est négatif
donc pr tt n€[4;+oo[ (n+1)²-n²(n+1)<=0
autrement dit (n+1)²<=n²(n+1)

on peut alors encadrer:
(n+1)²<=n²(n+1)<=(n+1)!
(n+1)²<=(n+1)!
vrai

alors la proposition est vraie. n²<=n! pour n>=4

merci pour ta reponse, mais je capte pas quand tu mets
´une racine positive ~1.61 à droite c´est négatif ´ ; ´si n apartien a [4;+oo[ , alors (n+1)²-n²(n+1)<=0´
c juste, bien sur, mais la racine est 1.61, donc pourquoi tu prends [4, +oo], c est vrai que sa m arangerait aussi, mais l inequation est vraie pour n => 2 ..

n²<=n! n´est vraie qu´à partir de 4 (c´est vrai pour 0 et 1 mais bon):
pour 2 on aurait:
4<=2
pour 3 on aurait:
9<=6
or c´est faux.

Ce n´est vrai qu´à partir de 4 où l´on a:
16<=24

c´est pour ça que je prends n>=4

ok bob, c saisi, merci encore pour tout