Bonjour,

voila j´ai encore un problème de démonstation

a et b sont deux entiers strictement positifs, on désigne par m(a,b) le plus petit des deux nombres a-racineiéme de b (ou b^(1/a) ) et b-racineiéme de a (ou a^(1/b) ) et on considére l´ensemble A=[m(a,b) | a € N* et b € N*). Démontrer qu´il existe dans A un élément plus grand que tout les autres. Déterminer cet élément.

Pour démontrer cela, comment fait-on pour commencer cette démonstration ?? !

Déterminons dans un premier temps A.

On suppose ici a>b(pour simplifier...) ((1))

b^(1/a)=e^(1/a*ln b)
a^(1/b)=e^(1/b*ln a)

Il faut donc comparer 1/a*ln b, et 1/b*ln a pour obtenir le minium entr eles deux.

On a : ln a>ln b, 1/b>1/a (d´après (1))

Soit, a^(1/b)>b^(1/a) quand a>b.

Et quand a>b m(a;b)=b^(1/a)

On fixe b. On fait décrire x IN tel que x>=b.

Alors, m(b;x)=b^(1/x)=e^(ln b*1/x)

Tu montres alors que c´est décroissant strictement.(ln b*1/x décroissant, e^x croissant...) Ainsi, le maximum de cette fonction est atteint en b.

D´autre part, si b>=x...

m(b;x)=e^(ln x*1/b)
Cette fonction est croissante strictement(ln x croissant, e aussi...) et donc son maximum est atteint en b.

Ainsi, lorsque x décrit IN* et que b est fixé, le maxium de l´application définie par m(b;x) est atteint en b et est e^(1/b*ln b).

Ainsi, A admet un plus grand élément atteint lorsque a=b, qui est...

Et ce n´est pas fini. Il faut maintenant trouver le plus grand des éléments lorsque a=b...

Tu étudies la fonction e^(1/x*ln x) dans IN. Hf !

: merci: Watza][Kamikaze