Salut les gars, j´ai un petit problème sur un exercice portant sur les limites de suites en fait c´est une déduction qui semble assez simple cependant je n´y arrive pas mais ça ne devrait pas vous poser de problème à mon avis

Soit (un) la suite definie pour tout entier n, n>1 par
un=n/(n²+1) +n/(n²+2) + n/(n²+3) +...+ ,/(n²+n)

J´ai déjà démontré que pour tout entier n>1 et pour tout p tel que
1<p<n on a n/(n²+n) < n/(n²+p) < n/(n²+1)

Mais je n´arrive pas à déduire que
n²/(n²+n)< un < n²/(n²+1)

Pourtant ça semble très simple...

Et l´autre bout de l´exercice qui pose problème
Soit (un) la suite definie par
un=1/[(n+2)²+sin(n)
Determiner deux suites (vn) et (wn) telles que pour tout entier n vn< un< wn
2) En déduire que (un) est convergente et donner sa limite

Mamaaaan !! J´veux pas aller en 1ère S...

Ca me fait peur tous ces ´n´ bizarres... ^^

Bref, Bonne Chance

C´est simple mais chiant à écrire.
Tu prends ton inégalité, tu peux la réécrire n fois en remplaçant p par les entiers de 1 à n.
Tu sommes à chaque fois :
a < b < c et d < e < f
=> a+d < b+e < c+f

Tu te retrouves avec Un qui sera encadré par :
n/(n²+1) + n/(n²+2) + ... + n(n²+n) à gauche,
et n/(n²+1) + ... + n/(n²+1), n fois à droite.
Pas de problème à droite du coup, tu obtiens bien ce que tu cherchais.

On en est donc à :
n/(n²+1) + n/(n²+2) + ... + n(n²+n) < Un < n²/(n²+1)

Or n²+1 < n²+n de même que n²+2 < n²+n, etc.
D´où :
1/(n²+1) > 1/(n²+n), etc les autres valeurs.
Tu peux multiplier par n² des 2 côtés sans changer l´ordre (n positif strictement).

On en déduit :
n/(n²+n) + ... + n/(n²+n) < n/(n²+1) + n/(n²+2) + ... + n(n²+n) < Un < n²/(n²+1)

Tu peux encore sommer la partie de gauche en ce que tu cherches, tu vires la partie en trop et c´est fini.

C´est hyper brouillon mais c´est ça.

Pour l´autre question, ça m´a l´air plus facile :

Tu encadres sin(n).
Tu encadres le dénominateur de Un.
Tu encadres finalement Un, attention à l´ordre, et montre bien que tous les termes sont positifs.
Convergence par le théorème des gendarmes.
Limite déduite. ^^

Laure : bof, on s´y fait, maintenant je suis passé au péritoine pariétal pelvien en rapport avec l´espace sous péritonéal pelvien, alors bon...

dis moi es-tu bien sur de ton énoncé: 1/[(n+2)^2+sin n] parce que cette suite n´est à première vue pas convergente. Ne serait-ce pas un produit au dénominateur hein?

Erf, me dis pas qu´il y a un problème, je ne vois pas de problème...

ben... je pense que puisque c´est une somme la suite majorante et minorante ne convergent pas vers la même limite...

Euh ouais mais là il n´y a pas trop de rapport entre la somme et la limite demandée...
En fait je ne comprends pas trop pourquoi on demande d´encadrer alors que la limite en soi ne me semble pas être une forme indéterminée...

Merci beaucoup mais j´ai juste une question.
Quand la limite d´une suite est 0, elle est donc forcément convergente ou pas ?

(un) converge <=> La limite de (un) existe et est finie.

Ici, quand ta suite tend vers 0, alors sa limite existe, et vaut 0, qui est finit. Donc ta suite est convergente