salut voilà le problème:

Soit f:R->R une fonction telle que f(x+y)=f(x)f(y) pour tous xy réels. Montrer que f est une exponentielle.

voilà comment j´ai fait (c´est très moyen...)
si f est une exponentielle alors f´(x)=ln(a)f(x)(pour la réciproque c´est là le pb) on tire de
la relation que f(0)=1. On calcule
lim y->0 f(x+y)-f(x)/y qui doit exister si f est strictement croissante (en faisant varier y dans la relation) ce qui vaut lim y->0 f(x) lim y->0 (f(y)-1)/y. on dérive le numérateur et le dénominateur on a que cette limite vaut lim y->0 f´(y) puisque f est continue elle vaut f´(0) et au final on a f´(x)=f´(0)f(x) ce qui suggere que c´est une exponentielle... mais le raisonnment est boiteux car on ne sait pas si f´(x)=cf(x) implique que f est une exponentielle ni si f est dérivable pour tout x.

merci pour votre aide précieuse

Up.

"on ne sait pas si f´(x)=cf(x) implique que f est une exponentielle"

LA fonction exponentielle est définie par (dérivable) et : f´(x) = f(x), f(0) = 1

j´ai pas tres bien compris comment tu as fait mais en dérivant la fonction fy(x) = f(x+y) = f(x)*f(y), ca a l´air de bien marcher

tu devrais avoir cette démo dans ton (non pas cul) cours

ce qui donne f´(x+y)=f(y)f´(x) comment tu en déduit que c´est une exponentielle??

ouais je me suis trompé (j´ai cru qu´on pouvait direct dire que f´(x+y)=f´(x)*f´(y) mais non), je vois pas trop sinon (je regarderai ca plus tard si personne ne trouve d´ici la)

Merci pour ton aide picto mais au bout de qq heures de réflexion j´ai trouvé une démo convaincante si tu le souhaites je peux la mettre

A+

C´est du masochisme, les math...

ouais si elle est pas trop longue ca m´intéresse ^^

pour la faire courte il suffit de reprendre la formule que j´ai mis dans le 1er poste à savoir f´(x)=f´(0)f(x) qui est juste puisque je l´ai retrouvée sur wikipédia en faisant une recherche ultérieure (a noter que f´(0)est non nul). Un raisonnement par récurrence montre que la nième dérivée en 0 vaut [f´(0)]^n (pour tout n naturel)outre une fonction infiniment dérivable on est en mesure de la développer en série entière. On obtient une somme qui porte sur les n éléments de N (f´(0)x)^n/n! puisque ln est surjective on pose f´(0)=ln a ,a dans R+\{1} et le tour est joué. Ben voilà c´est ma démo et je pense qu´elle est recevable. @+

Comment montres-tu que f est dérivable ?

Oui pardon j´ai oublié de la préciser mais c´est dans les hypothèses sur le morphisme f sinon il est effectivement délicat de procéder et surtout on ne peut exploiter les propriétés d´un morphisme non dérivable(par exemple lorsque qu´on cherche la primitive de la fct inverse)

Non mais l´ennoncé est faux ok en fait il y a aussi le cas pathologique de la fct identiquement nulle sinon si on a f´(0)=0 alors f est constante et puisque f(0)=1 alors f vaut 1. Donc f appartient à {expa;0;1} et cette fois c´est bon, dsl.