Ce topic s´adresse aux personnes ayant au moins un niveau de Terminale et aimant les Maths (car ce qui va suivre est assez complexe même pr un Terminale):

Voilà je sors d´un contrôle de Maths sur le calcul intégral et voilà une des questions du contôle :

"L´énoncé suivant est-il vrai ou faux ? Si vrai,justifier soigneusement,si faux,donnez un contre-exemple :

"Pour toute fonction f continue sur [0;3], si (intégrale de 0 à 3)f(x)dx = 0 , alors f(x)=0 pour tout x sur [0;3]" "

Voilà ma réponse :

FAUX.
Si l´on prend f(x)=-x+(3/2)
f est bien continue sur [0;3]
mais (intégrale de 0 à 3)f(x)dx = [-(x²/2) + 3/2x](de 3 à 0) = F(3) - F(0) (avec F(x)= -(x²/2) + 3/2x ) = 0
Or pour tout x sur [0;3] , f(x) = 0 est faux . Par ex,f(1)=-1+(3/2)=1/2
Donc l´énoncé est bien FAUX.

Le prob,c´est que un pote à moi dis que l´énoncé était vrai ! En fait c vrai que pdt mon raisonnement je mettais heurté à un prob :
ma fonction f(x) était positive sur [0;3/2] mais négative sur [3/2;3] ! J´aurai donc dû diviser l´intégrale pas Chasles,ce qui m´aurait donné :
(intégrale de 0 à 3)f(x)dx = (intégrale de 0 à 3/2)f(x)dx MOINS (intégrale de 3/2 à 3)f(x)dx
(car f(x) est négative sur [3/2;3] et donc il faudrait mettre un moins devant l´intégrale sur cet intervalle) ce qui m´aurait donné
F(3/2) - F(0) -F(3) + F(3/2) et donc -9/4 + 9/2 !
Pourtant si on trace la courbe de f(x) = -x + 3/2 on voit bien que sur [0;3] les aires s´annulent non ?? ?? Et donc (intégrale de 0 à 3)f(x)dx devrait faire 0 !? !

Qui a faux ? Qui a vrai ? Dites le moi svp !

C´est faux, il faut que la fonction soit de signe constant sur l´intervalle. ^^ (en plus de la continuité bien sûr)

Mais non, ce n´est pas parce que la fonction change de signe que tu dois diviser l´intervalle.

Et même si la fonction est négative sur le second intervalle, tu n´as pas besoin de mettre ce signe moins.

Donc la réponse est bien FAUX.

En fait, le moins que tu veux rajouter n´est pas à rajouter. Tu peux intégrer une fonction de signe non constant sur un intervalle, il n´y a pas de problème, c´est juste que l´interprétation au niveau de l´aire sous la courbe n´a plus vraiment de sens.

Chasles ne sert que lorsque tu veux intégrer de "a" à "c" et que tu veux passer par les intégrales entre {"b" et "c"} et {"a" et "b"}

L´énoncé est donc faux.

Par contre, rajouter l´hypothèse "fonction de signe constant" aurait forcément impliqué la validité de l´énoncé.

Wala, en espérant avoir aidé ^^

Et ne te prends pas la tête, tu n´as qu´à prendre la fonction cos sur [0,2Pi], l´intégrale de 0 à 2Pi est nulle, mais cos est loin d´être nulle sur l´intervalle considéré... Et tu n´avais pas à démontrer, il est bien indiqué que si l´énoncé est faux tu dois donner un contre exemple loul

mais donc dans quel cas faut-il diviser l´intervalle et mettre des moins ?

Sinon la réponse que j´ai mis est correcte (niveau raisonnement) ?

Aux changements de signe

Ta réponse est correcte, et je crois que tu as zappé ton -F(3) dans ton calcul

Aux changements de signe ? Mais alors fallait que je change non puisque f(x) devient négative lorque x dépasse 3/2 ?

Sinon ben non j´ai pas oublié F(3) puisqu´il fait 0 ^^ !

Mary30 Posté le 29 mars 2007 à 20:54:13 Et ne te prends pas la tête, tu n´as qu´à prendre la fonction cos sur [0,2Pi], l´intégrale de 0 à 2Pi est nulle, mais cos est loin d´être nulle sur l´intervalle considéré... Et tu n´avais pas à démontrer, il est bien indiqué que si l´énoncé est faux tu dois donner un contre exemple loul

C´est de 0 à 3 et non de 0 à 2 pi donc ça ne contredit rien.

grimm > Euh, tu as pris quoi comme primitive de -x + 3/2 pour qu´elle s´annule en 3 ? ...

King > Ah ouais. J´avais zappé l´intervalle de départ.

Quand je commence à mélanger primitive et dérivée, rien ne va plus

• sombre dans la honte*

Heu non j´ai pris -x + 3/2 en fonction !
Sa primitve est donc -(x²/2) + 3/2x ce qui s´annule en 3 aussi ^^ !
Sinon donc je ne vois pas quand je dois mettre un moint devant l´intégrale !
Dans mon cours c´est dit qu´il faut le faire quand la fonction devient négative mais jlai pas fait ds le controle sinon sa me contredisait tout !

Tu changes le signe devant l´intégrale quand tu intervertis les bornes, c´est tout. Il n´y a pas à mettre de moins quand la fonction est négative.

Ahhh c bon j´ai compris ! Jsuis allé demandé à mon prof aujourd´hui et voilà l´explication :

-lors du calcul d´une INTEGRALE , on fait (intégrale de a à b)f(x)dx = F(b) - F(a) ac F une primitive de f

-lors du calcul d´une AIRE , on fait (intégrale de a à b)f(x)dx = (intégrale de a à c)f(x)dx - (intégrale de c à b)f(x)dx si par ex f(x) est positive sur [a;c] mais négative sur [c;b] !

En fait je n´avais pas compris que "Aire sous une courbe de f(x) sur [a;b]" et "intégrale de a à b de f(x)" était pas complètement identiques !
L´aire désigne l´aire TOTALE entre la courbe de f(x) et l´axe des abscisses,sans tenir compte du signe de f(x) (c´est pourquoi il faut mettre un - devant l´intégrale quand f(x) est négatif afin de rendre l´aire calculée positive) TANDIS QUE l´intégrale désigne l´aire sous la courbe en comptant les aires au dessus de l´axe des abscisses positivement et l´aire en dessous de l´axe des abscisses négativement,mais avec l´intégrale on se osucie pas du signe de f(x) puisqu´il est toujours "pris en compte" par le calcul ^^ !

Est ce que j´ai bien compris ?

oui!

En fait, plus simplement, l´aire totale est l´intégrale de |f(x)| dans l´intervalle considéré

(avec |.| valeur absolue)

Si tu comprends pas tout à mon charabia débile, ne t´inquiète pas ^^