Bonjour,
je dois démontrer l´inégalité suivante mais je ne sais pas comment m´y prendre:

3/(n+1)<=ln(n+1)-ln(n-2)<=3/(n-2)

voilà; merci de m´aider svp

Ensemble de définition ? ^^

Df=]2;+oo[

bah tu étudie le signe de [ln(n+1)-ln(n-2)] - [3/(n+1)] et de [3/(n-2)]- [ln(n+1)-ln(n-2)]

c´est pas ça qu´il faut faire?

Je pense mais c´est chaud

Oui ça a l´air simple comme ça hein.

pas moyen d´une récurrence ? ^^

Si plutôt. ^^

Quoi qu´avec les ln... Enfin tu peux toujours essayer ^^

C´est pas commode, ce qui risque dêtre compliqué c´est de passer de n à n+1, l´initialisation doit se faire facilement

Oui...

Je suis bloqué dans mon étude de signe

La fonction f(x)=ln(x) est continue et dérivable sur ]n-2,n+1[, n+1>n-2 (et n>2) et sa dérivée peut être encadrée par deux bornes notées m et M:
pour x€]n-2,n+1[
m<=f´(x)=<M
1/(n+1)<=1/x=<1/(n-2)

d´où d´après le théorème des accroissements finis, on a:
(n+1-(n-2))*m<=f(n+1)-f(n-2)<=(n+1-(n-2))*M
->> 3/(n+1)<=ln(n+1)-ln(n-2)<=3/(n-2)

A toi de voir si tu as le droit d´utiliser cette méthode, sinon tu vas à la barbare avec tableaux de signes etc

c´est barbare aussi ça ^^
c juste des toutes betes inégalités de convexité...

3/(n+1)<=ln(n+1)-ln(n-2)=ln((n+1)/(n-2))=ln(1+(3/(
n+1))
d´où...
pareil pour dans l´autre sens en partant de ln(n-2)-ln(n+1)

la demo te dark revient au même mais si tu peux utiliser la convexité, pourquoi se priver ?

je vais tout reprendre à tête reposée, la démo de Monkey semble cependant plus simple^^
merci à vous

oui, d´ailleurs, je me suis trompé en tapant :
bien sur :
ln(n+1)-ln(n-2)=ln((n+1)/(n-2))=ln(1+(3/(
n-2)) <= 3/n-2...

Tout a toujours l´air ultra simple avec vous.

C´est clair