Bonjour tous le monde

J´ai fais un exercice soit disant dit casse tête, bon je suis en classe de 2nd, et je voudrais savoir si ma résolution est bonne :

x² = 4k + 3

Résoudre dans N :

Prenons k quelquonque : soit k = 0

x² = 4 x 0 + 3
x² = 3
x = V3 et x = -V3, mais il n´admet qu´une solution car c´est N donc S = {V3}

Prenons un k inferieur a 0 quelquonque : soit k = - 2

x² = 4 x (-2) + 3
x² = - 8 +3
x² = - 5 => impossible dc aucune solution

Prenons un k superieur à 0 quelquonque : soit k = 24
x² = 4 x 24 + 3
x² = 75
x = V75 et -V75 mais il n´admet qu´une solution S = { V75 }

Je peux donc en deduire que pour k inferieur a 0, il ne possede aucune solution
et que k superieur ou egal a 0, possede qu´une seul solution dans l´ensemble N

Tu ne prouves rien là.

Dire que a divise b équivaut à dire qu´il existe un entier relatif p et un entier naturel r tel que : b = ap + r (a est appellé quotient et r le reste). On a 0 <= r < a.
On remarque que x² = 4k + 3 est de la même forme. On doit donc trouver un entier x et un entier k telle que la division par 4 d´un nombre élevé au carré donne 3 comme reste.

Or, si x est pair, alors x = 2k, k € Z, d´où x² = 4k² = 4k² + 0. (4 est le quotient, 0 le reste), d´où un nombre pair élevé au carré est toujours divisible par 4 et donne 0 comme reste.

Si x est impair, on a x = 2k + 1 => x² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1. D´où, un nombre impair elevé au carré est divisible par 4 et donne toujours 1 comme reste.

Dans les deux cas, un carré divisé par 4 done toujours soit 0, soit 1 comme reste. Or notre équation stipule 3 comme reste. Cette situation est donc impossible, d´où il n´existe aucun (x : k) € N qui satisfait l´équation.

"x = V3 et x = -V3, mais il n´admet qu´une solution car c´est N donc S = {V3}"

Au passage, Vp avec p un nombre premier sont toujours irrationnelles, donc n´appartiennent pas à N ... ;- )

Tu veras en Terminale S, si tu veux faire S, une outil très puissant lié à la divisibilité, les congruences, qui te permettra de venir à bout d´équations plus complexes que ça ;- )

J´espère que tu as compris ma solution, c´était de la "divisibilité forcée" niveau 2nd, je doute que ce soit ton prof qui t´ait donné ça ... Tu l´as trouvé où ce problème ? Ou alors, t´es à Louis Le Grand ou Henri IV ?

Quelques remarques sur la démonstration d´Odass...

Il faut préciser ce qui est dans N : k et/ou x ?
si c´est les 2, alors, pas la peine d´envisager k<0 car N regroupe les entiers supérieurs à 0.

On ne démontre pas à l´aide d´exemples !
Le fait que tu trouves que pour l´EXEMPLE k=-2 qu´il n´y a pas de solution ne signifie pas que pour k=-865846548, il n´y en aura pas non plus.
Par exemple, si je te demande de résoudre x²=k.
faisons comme toi, prenons k=24
dans ce cas, il n´y a pas de solution car V24 et -V24 ne sont pas dans N. mais ca ne veut pas dire qu´il n´y a aucune solution ! si je prends k=64, alors, il y a une solution.
il faut démontrer dans le cas général, sans donner de valeurs précises à k.
Ou alors, tu peux envisager différentes possibilités.
d´abord, tu envisages que k est pair, puis que k est impair
et comme chaque entier est soit pair, sois impair, en envisageant ces 2 possibilités générales, tu as envisagé toutes les valeurs de k...

Quant aux congruences, précisons que c´est pour les Spé maths,parce que moi, j´en ai pas ^^

je vous remercie beaucoup de votre aide ^^