Bonjour,

J´ai un DM de maths à rendre pour demain, et je bloque à une question. Voici l´exo :

Etudier les variations des fonctions f et g définies sur [0;1] par
f(x)=ln(1+x)-x
g(x)=ln(1+x)-x + (x²/2)

Bon ça j´ai réussit, f est strictement décroissante sur [0;1] et g est strictement croissante sur [0;1].

Et là on me demande : en déduire que pour tout x de [0;1], on a l´encadrement :
x-(x²/2) < ln(1+x) < x

J´ai essayé ça :
0<x<1
0<ln(1+x)<ln(2)=0.79
0<x-(x²/2)<0.5

Mais là je sais pas si je peux conclure directe que x-(x²/2) < ln(1+x) < x ...

Pourriez vous m´aider ?

Merci d´avance.

C´est facile regarde
T´as dis f decroissant, f(0)=0 donc negative
ln(1+x)-x<0
(1e partie dlencadrement)

Apres pareil g croissante, g(0)=0 dc g positive
g(x)=ln(1+x)-x + (x²/2) > 0
voila finit aussi

Sans oublier le blabla continue etc

Ah ouais ! Merci à toi !

Derniere question :

La voici. Toujours dans le même exo:
Sur N* on définit deux suites par Un=(1+(1/n))^n et Vn=ln(Un)

En utilisant l´encadrement de la question 1, montrer que la suite (Vn) est convergente.

L´encadrement c´est : x-(x²/2) < ln(1+x) < x

Mais la jvois pas comment je peux en déduire que la suite est convergente, vu que x et x-(x²/2) tendent vers +oo ..

Quelqu´un peut m´aider ?
Merci.

Et en posant x=1/n ? ... ^^

Ca donnerait ça ?

(1/n)-(1/2n²)<ln(1+(1/n))<1/n

Et sachant que (1/n)-(1/2n²) et 1/n convergent vers 0, alros d´après le tho des gendarmes ln(1+(1/n)) est convergente (vers 0)

Merci Mary !!

De rien. (précise que n€N* ^^)