Salut, je bloque complètement sur cet exercice ;)

On construit un "escargot" formé de demi-cercles successifs, chaque demi cercle ayant un rayon égal à la moitié du précédent.Le premier demi-cercle a pour rayon 1.

1°)x est un nombre réel tel que: 0<x<1
et n est un entier non nul

a) Développer: (1-x)(1+x+x²+...+x^n)
b) En déduire que 1+x+x²+...+x^n <(ou égal) 1/(1-x)

2°) On note Ln le périmètre d´un escargot formé de n demi cercles successifs. Montrer que (Ln) est majorée et en donner un majorant.

=> Pour la 1°)a j´ai trouvé: 1 - x^(n+1)
la b) j´ai pas tellement vu le rapport entre les deux questions et du coup j´arrive pas à lier le résultat que j´ai trouvé avec ce qui est demandé dans la b.
Pour la 2 j´ai pas du tout d´idée, doit surement y´avoir un rapport avec les deux questions d´avant, mais je vois pas lequel.
Merci

b) 0 < x < 1 donc 0 < x^(n+1) < 1, donc 0 < 1 - x^(n+1) < 1
(1-x)(1+x+x²+...+x^n) = 1 - x^(n+1) donc en remplaçant :
(1 - x)(1 + x + x² +...+ x^n) < 1
Comme 1 - x > 0 on peut diviser par 1 - x sans que ça change le sens de l´inégalité :
1 + x + x² +...+ x^n < 1/(1 - x)

2) périmètre du 1er demi-cercle = pi*1 = pi
périmètre du 2ème demi-cercle = pi*1/2 = pi/2
périmètre du 3ème demi-cercle = pi*1/4 = pi/4
...
périmètre du nième demi-cercle = pi*1/2^(n-1) = pi/2^(n-1)
Donc Ln = pi + pi/2 + pi/4 +...+ pi/2^(n-1) = pi(1 + 1/2 + 1/4 +...+1/2^(n-1))
Je te laisse voir le lien avec les questions précédentes.

Merci
Va falloir que je bosse la 2 et ça devrait aller

Juste pour avoir confirmation: la 2 je fais le majorant de ton dernier resultat. Ca va donner (je pense) quelque chose avec divisé par Pi. Apparemment, 2 est la limite de 1+1/2+1/4 ...
Mais j´arrive pas à prouver que c´est la limite, et pourtant c´est sûr que c´en est une. Donc, toujours en supposant, on devra obtenir: majorant = 2/Pi

Ln = pi(1 + x + x² + ...+ x^(n-1)) avec x = 1/2
D´après 1) b) pour tout n, 1 + x + x² + ...+ x^n < 1/(1 - x),
donc Ln = pi(1 + x + x² + ...+ x^(n-1)) < ...

Ah ok, j´étais totalement à l´ouest ^^´
Donc, sauf erreur, Ln = pi(1 + x + x² + ...+ x^(n-1)) < Pi/(1-x) ´^^
En fait je crois que je me suis embrouillé.
A la base on avait 1 + x + x² + ...+ x^n
La on a la même chose avec x^(n-1)

Donc je sais pas si ça change quelque chose dans la fonction d´avoir ce changement.

1 + x + x² + ...+ x^n < 1/(1 - x) est valable pout tout entier n non nul donc si on suppose que l´escargot est composé d´au moins 2 demi-cercles il n´y a pas de problèmes (il suffit de faire un changement de variable).

Donc le résultat que j´ai trouvé c´est le bon?

Moi j´étais partis sur le fait de prendre la grande parenthèse, de faire sa limite (qui est 2 mais je sais pas le prouver) et ensuite d´ajouter le facteur Pi, mais bon c´était la solution du désespoir ^^
Donc ma dernière question: j´aurais pas pu le faire? (mon raisonnement était mauvais?)
Et est ce que le résultat: majorant = Pi/(1-x) est le bon?

Avec ton raisonnement on trouve le même résultat :
lim (1 + 1/2 + 1/2² +...+ 1/2^n) = 2
donc lim Ln = lim pi(1 + 1/2 + 1/2² +...+ 1/2^n) = 2pi

Et pi/(1 - 1/2) = pi/(1/2) = 2pi.

Ah ouai. Merci beaucoup
Il aurait fallu que je le prouve la limite de la grande parenthèse?
Juste pour que je sois sûr de comprendre, tout à l´heure tu m´as dit:
"Ln = pi(1 + x + x² + ...+ x^(n-1)) avec x = 1/2
D´après 1) b) pour tout n, 1 + x + x² + ...+ x^n < 1/(1 - x),
donc Ln = pi(1 + x + x² + ...+ x^(n-1)) < ..."

Donc là il aurait fallu que je trouve 2Pi.

Mais la limite trouvée au 1b c´était 1/(1-x)
Il fallait que je remplace avec x =1 / 2 et là j´aurais eu 1/ 0.5 = 2?
En fait je m´étais totalement embrouillé pour rien ^-^

C´était bien Ln = pi(1 + x + x² + ...+ x^(n-1)) < pi/(1 - x)
Comme x = 1/2 tu trouves bien que Ln < 2pi.

Ok, merci encore.