Bonjour,
J´ai quelques problèmes pour la deuxième question de cet exercice :

Trouver deux constantes a et b telles que, pour tout entiers naturels k : 9k + 4 = a(2k-1)+k+8 et 2k-1=b(k+8)-17.
En déduire que si k est congru à 9 modulo 17, alors le PGCD de 9k+4 et 2k-1 est 17, et que dans les autres cas, le PGCD de ces nombres est 1.

Merci d´avance

up

a=4 et b=2.

Vérifions que si k est congru à 9 modulo 17, alors le PGCD de 9k+4 et 2k-1 est 17.
On utilise Bézout avec les coefficients 2 et-9 et en écrivant k=9+17q.
donc on a le premier résultat.

Traitons le cas général:

Notons d le pgcd cherché.
Alors d|(9k+4) et d|(2k-1)
or 9k + 4 = a(2k-1)+k+8 donc 9k + 4 - a(2k-1)= k+8 (et d|(9k+4) et d|(2k-1)) donc d|(k+8)
Or 2k-1=b(k+8)-17 donc idem, d|17.
17 étant premier alors d=1 ou d=17.

Supposons que d=17.
Alors 9k+4=17q et 2k-1=17q´ (on multiplie la seconde par -4 et on somme) d´où k+8=17(q-4q´) donc k+8 congrus à 0 modulo 17 soit k congrus à -8 modulo 17 c´est-a-dire k congrus à 9 modulo 17.

Au final, si k est congru à 9 modulo 17, alors le PGCD de 9k+4 et 2k-1 est 17, et dans les autres cas, le PGCD de ces nombres est 1.