bonsoir,
j´aurai besoin d´un petit coup de main pour demarrer mon DM.

On considere la suite
Somme(1/k, pour k variant de 1 à p). p etant un entier naturel.
Pour que ce soit plus simple, je note H(p) cette suite

soit n un entier naturel
Je dois demontrer que la suite
H(n*p)-H(p) converge

(p variable, n parametre).
Sur maple j´ai vu que cette suite converge vers ln(n), mais dans l´intitulé du probleme, il est interdit d´utiliser le logarithme, donc pas possible de passer par la def de la convergence.

Il faut donc surement montrer qu´elle est croissante et majorée.
un petit coup de main ?

merci

Y a pas un telescopage ?

pour le signe de u(p+1) - u(p) oui

mais pour la majoration .. ?

Tu peux vraiment pas utiliser le log, même en le démontrant rapidement? Dans ce cas H(p) équivalent à ln(p), et c´est fini.

ca marche pour n=1. ca fait 0, c´est constant, donc ca converge.

suppose un n tel que H(n*p)-H(p) converge .

essaye de prouver que ca marche pour n+1.

H((n+1)*p)-H(p)=[H(n*p)-H(p)] + [1/(np+1)+ 1/(np+2)+ 1/(np+3)+...+ 1/(np+p)]

et vois si le deuxieme terme pourrait pas converger par hasard.

et SI TU N´AS PAS PEUR DES INDICES ET DES SOMMES HORRIBLES :

tu peux toujours dans le deuxieme terme tout mettre surle meme dénominateur, ca te donne une somme de produits barbares sur un produit barbare.

sauf que la somme est équivalente à un p^quelquechose, et je suis pres à parier que ce quelquechose est inferieur à l´equivalent du dénominateur.
mais c´est horrible, et il y a sans doute plus simple.

Tu peux poser Sp=H(np)-H(p).

Il suffit alors de montrer que S(p+1)-Sp>0 par exemple écris ce que ça vaut et pose 1/(p+1)=somme(1/(n*(p+1)),k=1..n)
Et pour majorer S(p), tu peux majorer chaque terme de S(p) par le premier.

tiens, salut tantal, ca faisait longtemps que je t´avais pas vu...

tantale> ça suffit pas de montrer que S(p+1)-Sp>0.
Il faut montrer par exemple que S(p+1)-Sp = o(1/p^2).

baba4444 : Salut, je ne viens plus très souvent ici. Mais bon, de temps en temps, je regarde quand même ce qui s´y passe. Mais toi, qu´est ce que tu deviens, tu es en dernière année à l´ensiacet, non ?

arthas59 : On veut juste montrer que S(p) est croissante majorée, il suffit donc de montrer que pour tout p, S(p+1)-S(p)>0 pour montrer la croissance et de montrer qu´il existe M tel que pour tout p, S(p)<M pour la majoration.
Montrer que S(p+1)-Sp = o(1/p^2) permettrait aussi de résoudre le problème en montrant que la série des S(p+1)-Sp converge donc que Sp converge mais ce n´était pas la méthode dont je parlais, de plus, cette méthode, faisant appel aux techniques de calculs des séries, ne me paraît pas très adaptée en MPSI.

Il faut comme cela a été dit montrer que la série est croissante ( c´est le cas !) et qu´elle est majorée.

Pour la croissance, une majoration grossiere de la différence suffit.

Pour la majoration ce que je viens de faire et qui marche très bien est de découper ta somme en p-1 sommes de n termes où l´on coupe entre (ip+1) et p(i+1) pour i allant de 1 à (n-1)
ce qui te donne bien ta suite en entier.

Alors tu majores chacune des ces n-1 sommes classiquement ( nbre de termes * valeur mini) et ca te donne une somme sur i de 1 à (n-1) où n est fixé !! ! et tu verras facilement que c´ets majoré par (n-1) !! !

oups coquille: pour la croissance il faut minorer la différence par 0 et non pas majorer

haaaaa re coquille. Quelle idée de prendre p comme variable!!!

Alors voici la version finale:

Pour la majoration ce que je viens de faire et qui marche très bien est de découper ta somme en n-1 sommes de p termes où l´on coupe entre (ip+1) et p(i+1) pour i allant de 1 à (n-1)
ce qui te donne bien ta suite en entier.

Alors tu majores chacune des ces n-1 sommes classiquement ( nbre de termes * valeur mini) et ca te donne une somme sur i de 1 à (n-1) où n est fixé !! ! et tu verras facilement que c´est majoré par (n-1) !! !